Page 372 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru:
s(ABC)=50° ve s(ACB)=70° olan bir ABC üçgeninde, D noktası [BC] kenarının orta nok-
tasıdır. [BC] ve [AD] kenarına teğet olan bir çember, [AB] kenarını P noktasında kesiyor.
[BC] ve [AD] kenarına teğet olan başka bir çember ise, [AC] kenarını Q noktasın-
da kesmektedir. Buna göre s(APQ) kaç derecedir?
Çözüm:
1- Bu çemberler [AD] kenarına
aynı noktada değerler.
A A Çünkü bu noktaları E ve F
P P gibi farklı düşünsek,
Q Q IBDI=IDEI ve IDCI=IDFI
F
E E olur. Yani IBDI=IDCI veril-
miş olması E=F nin bir gös-
50° 70° 50° 70° tergesidir.
B D C B D C
2- A noktasından kuvvet yazılırsa IAEI.IAEI=IAPI.IABI=IAQI.IACI olur. Bu sayede
IAPI:IAQI=IACI:IABI eşitliği elde edilir. Zaten ortak açımız hazır, dolayısıyla ABC ≈ AQP olur.
Buradan s(APQ)=s(ACB)=70° bulunur.

Soru ( 1939 EÖTVÖS ):
ABC dar açılı bir üçgen olmak üzere, A köşesinin karşısında, dışa doğru çizilen [BC] çaplı
yarım çember üzerinde A' noktası alınıyor. Benzer şekilde B' ve C' noktaları alınıyor. Hangi
durumda IAB'I=IAC'I, IBC'I=IBA'I ve ICA'I=ICB'I şartlarının hepsi sağlanır?
Çözüm:
A A 1- A', B', C' noktalarının, yük-
seklikler üzerinde seçil-
B' B' mesi halinde bu eşitliklerin
sağlanacağını gösterelim.
C' E C' E
F F Öklit bağıntısından

B D C B D C

A' A'
Üstelik, AEDB çemberseldir ve ICDI.ICBI=ICEI.ICAI dır. Şu ikisinden ICA'I=ICB'I bulunur. vd.

Soru ( 2009 TÜRKİYE ):
ABC üçgeninin [AL] ve [BM] kenarortayları K noktasında kesişiyor. C, K, L,M noktaları
çembersel ve |AB|=ñ3 ise, [CN] kenarortayının uzunluğu nedir?
Çözüm:
A A 1- ABC üçgenini, özel olarak, eşkenar
3 üçgen olarak alıyoruz (problemde veri-
2 lenlerle herhangi bir çelişme meydana
3 gelmediğine dikkat ediniz).
N M N M
3 3
K 2 K 2
B C B C
L L
371