Page 71 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 71

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ


                                   Soru:
                                  Bir ABC üçgeninde, tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC olduğunu ispatlayınız.
                                  Çözüm:
                                  1- Bir üçgende A+B+C=180° ⇒ tan(A+B)=tan(180°-C) dir. Buradan














                                   Soru (2004 TÜRKİYE):
                                  Bir üçgenin iç açılarının tanjantları tamsayılarsa, bu sayıların toplamı kaçtır?
                                  Çözüm:
                                  1-  tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC eşitliğini tamsayılar kümesinde sadece 1+2+3=1.2.3 sağlar
                                    (Niçin?). Dolayısıyla bu sayıların toplamı 6 dır.











                                   Soru (2002 ESTONYA):
                                  ABCD kirişler dörtgeninde, s(ACB)=2s(CAD) ve s(ACD)=2s(BAC) ise
                                  ICAI=ICBI+ICDI olduğunu gösteriniz.
                                  Çözüm:
                                        A               A       1-  Yandaki şekilde s(CAD)=α ve s(CAB)=β olarak alı-
                                                                  nırsa, s(A)+s(C)=180° den α+β=60° olur. Çevrel
                                                                  çemberin yarıçapı R ise sinüs teoreminden,
                                               D              D
                                                                  ICDI=2Rsinα, ICBI=2Rsinβ ve
                                                            2Rsin   ICAI=2Rsin(α+2β)=2Rsin(60°+β)  yazılabilir.

                                  B               B  2Rsin
                                          C               C
                                  2-  α+β=60° olduğunu göz önüne alıp, toplam fark formüllerini şöyle kullanabiliriz:










          70
   66   67   68   69   70   71   72   73   74   75   76