Page 71 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 71
100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ
Soru:
Bir ABC üçgeninde, tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC olduğunu ispatlayınız.
Çözüm:
1- Bir üçgende A+B+C=180° ⇒ tan(A+B)=tan(180°-C) dir. Buradan
Soru (2004 TÜRKİYE):
Bir üçgenin iç açılarının tanjantları tamsayılarsa, bu sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm:
1- tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC eşitliğini tamsayılar kümesinde sadece 1+2+3=1.2.3 sağlar
(Niçin?). Dolayısıyla bu sayıların toplamı 6 dır.
Soru (2002 ESTONYA):
ABCD kirişler dörtgeninde, s(ACB)=2s(CAD) ve s(ACD)=2s(BAC) ise
ICAI=ICBI+ICDI olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
A A 1- Yandaki şekilde s(CAD)=α ve s(CAB)=β olarak alı-
nırsa, s(A)+s(C)=180° den α+β=60° olur. Çevrel
çemberin yarıçapı R ise sinüs teoreminden,
D D
ICDI=2Rsinα, ICBI=2Rsinβ ve
2Rsin ICAI=2Rsin(α+2β)=2Rsin(60°+β) yazılabilir.
B B 2Rsin
C C
2- α+β=60° olduğunu göz önüne alıp, toplam fark formüllerini şöyle kullanabiliriz:
70