Page 72 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

3. BÖLÜM ÇEMBERLER - I

Soru (1988 SOVYETLER BİRLİĞİ):
A, B, C bir üçgenin dar açıları ise;

olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm:
1- ABC üçgeninde A ≤B≤C olsun. Şu halde (dar açıdan) sinA≤sinB, sinA≤sinC ve sinB≤sinC dir.

2- Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanıp, düzenlenirse

Soru:
ABC üçgeninin BC yayı üzerinde alınan P noktasından BC, AC ve AB doğrularına PQ,
PR ve PS dikmeleri çiziliyor. Buna göre olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm:
1- s(ABP)=α, s(BAP)=β ve
S S
B P B P s(CAP)=θ olarak alınırsa, s(PBC)=θ
ve s(ABC)=α−θ olur.
2- PBQ dik üçgeninde IPQI=IPBIsinθ
dır. PBA üçgeninde sinüs teoremin-
Q Q
den IPBI=2Rsinβ şeklinde yazılacağı
için IPQI=2Rsinβsinθ olur. Aynı tek-
A C A C nikle IPRI=2Rsinαsinθ ve
R R
IPSI=2Rsinβsinα bulunur.

3- ABC üçgeninde ise; IBCI=2RsinA=2Rsin(β+θ), IACI=2Rsin(α−θ) ve IABI=2Rsin(α+β) dır.
Buradan

71