Page 77 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru (1998 BALTIK ÜLKELERİ):
IABI<IACI olan bir ABC üçgeninde; B noktasından [AC] ye çizilen paralel, BAC açısına
ait dış açıortayı D noktasında kesiyor. C noktasından [AB] ye çizilen paralel ise dış açı-
ortayı E noktasında kesiyor. [AC] üzerinde alınan F noktası için,
IFCI=IABI ise, IDFI=IFEI dir. Gösteriniz.
Çözüm:
D B D B
1- s(BAD)=α dersek s(BDA)=α ve a
s(EAC)=s(AEC)=α olur. Demek ki B'
IABI=IBDI ve IACI=ICEI dir. F a F
A C A C
2- IFCI=IABI verildiği için IABI+IAFI=IACI yazılabilir. F'
B, F ve C noktalarından ED doğrusuna çizilen
C'
dikme ayakları sırasıyla B', F' ve C' olsun. Şu
halde IAB'I=IABIcosα ve IAF'I=IAFIcosα dan
a
IB'F'I=(IABI+IAFI)cosα=IACIcosα=IAC'I=IC'EI olur.
E E
3- Bununla beraber IDB'I=IDBIcosα=IFCIcosα=IF'C'I olduğu için IDF'I=IF'EI dir. Nitekim DFE
üçgeni ikizkenar ve IDFI=IFEI dir.
Soru (1989 İMO Shortlist):
Dar açılı ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve diklik merkezi H olmak üzere
IAOI=IAHI ise, s(A) kaç derecedir?
Çözüm:
1- ABC üçgeninin iç açıları α, β, θ ve
çevrel çemberin yarıçapı R olsun.
[AD] ve [CF] nin birer yükseklik olma-
sı durumunda s(HAF)=90°-β,
IAOI=IAHI=R, IAFI=IAHIcos(90°-β)
ve IAFI=IAHIsinB=Rsinβ dır.
2- CFA dik üçgeninde ICFI=IAFI.tanα
olduğundan ICFI=Rsinβ.tanα dır.

3- Diğer taraftan CFB dik üçgeninde, ICFI=IBCIsinβ=(2Rsinα)sinβ dır.
Sonuçta; ICFI=2Rsinα.sinβ=Rsinβ.tanα olacağı için cosα= ve s(A)=60° bulunur.

Soru:
ABC üçgeninin [BC] kenarı üzerinde D noktası alınıyor; s(ABD)=75°, s(ADB)=60° ve
IBDI=2IDCI ise s(ACB) kaç derecedir?
Çözüm:
A A A 1- IBDI=2 alalım.
BP ⊥ AD ile BDP
45° 45° 45° 30°-60°-90° üçgeni
oluşturulursa IDPI=1
P P
90° 90°
olur.
45° 1 45° 1 2- CPD 30°-30°-120° ve
75° 60° 60°
30° 30° 60°
B 2 D 1 C B 2 D 1 C B 2 D 1 C ABP 45°-45°-90° ikiz-
kenar üçgenlerinden
IBPI=ICPI=IAPI olur.
3- IBPI=ICPI=IAPI ise PABC bir merkezil dörtgendir.
76 Dolayısıyla 2s(ACB)=s(APB) den s(ACB)=45° dir.