Page 158 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1997 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 157

0 1 2 3 P 4 5
D 12. ¸ Sekilde, P noktasından D nok­
A B tasına olan uzaklık x ve P noktasından
0
O
D noktasına olan uzaklık y oldu˘ guna
0
göre, x + y sayısının x’cinsinden de˘ geri
nedir?
B P A
D
0 1 2 3 4 5
Çözüm : |AP| =  − 3 ve |P A | = 5 − ’dir. 1 0 2 3 P 4 5
0
0
D
A B
4 4 |AP| |AO|
0 0 ¯  O
AOP ∼ A OP ⇒ ¯ ¯ = ¯
A P A O
0 0 ¯
0 ¯
¯ ¯
Di˘ ger taraftan,
4
4 |AO| |AB| 1 B
0 0 ¯ = P A
AOB ∼ A OB ⇒ ¯ ¯ = ¯ D
0
0 ¯
¯ A O ¯ A B 0 ¯ 4
0 1 2 3 4 5
oldu˘ gundan,
|AP| 1  − 3 1
¯ ¯ = ⇒ =
A P
¯ 0 0 ¯ 4 5 −  4
e¸sitli˘ gi elde edilir ki, buradan da
 +  =17 − 3
bulunur.
13. 1’den m × n’ye kadar olan do˘ gal sayılar, m satırı ve n sütunu olan bir
tabloya (matrise), birinci satırdan ba¸slanarak artan sıra ile yazılmı¸stır. 20 sayısı
üçüncü satırda, 41 sayısı be¸sinci satırda ve 103 sayısı sonuncu satırda yazılmı¸ssa,
m + n toplamı kaçtır?
Çözüm : 2 20 ≤ 3 ⇒ 7 ≤  ≤ 9 ve
41
4 41 ≤ 5 ⇒  ≥  8 ⇒  ≥ 9
5
e¸sitsizliklerinden  =9 olur.
( − 1) ·  103 ≤  · 
e¸sitsizli˘ ginde  =9 oldu˘ gu gözönüne alınırsa,
103
9( − 1)  103 ≤ 9 ⇒  ≥ 9  11 ⇒  ≥ 12
ve
103
 − 1  ⇒  − 1 ≤ 11 ⇒  ≤ 12
9
olur. Bu iki e¸sitsizlikten  =12 bulunur. Sonuçta, + =12+9= 21 elde edilir.