Page 159 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

158 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

14. ¸Sekilde, [AB] do˘ gru parçası, merkezi O’da
olan çemberin çapıdır. Ayrıca, |AO|=|DC| ve E
m(EAO)=45 dir. Buna göre, m(DCO)kaç D
◦
b
b
derecedir? A 45 O B C
E Çözüm : ¸Sekilden izlenirse,
2x
 +2 =45 ◦
D
2x
e¸sitli˘ ginden  = 15 ◦ oldu˘ gu
45 x x görülür.
A O B C

15. 1 ≤ x ≤ 1000, 1 ≤ y ≤ 1000 olmak üzere, x +y sayısı 49 ile bölünecek
2
2
biçimde kaç tane (x, y) tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm : Herhangi bir tamsayının karesi 7 ile bölününce kalanlar 0, 1, 2, 3, 4 sayıların­
dan biri olabilir. Buna göre de  + nin 7 ile bölünebilmesi için gerek ve yeter ko¸sul,
2
2
 ve ’nin 7 ile bölünebilmesidir (7 ile bölünen  ve ’ler için  +  sayısı 49 ile
2
2
bölünür). Böylece, ilk önce
1 ≤  ≤ 1000 1 ≤  ≤ 1000 (  ∈ N)
¹ º
1000
sayıları içerisinde kaç tanesinin 7 ile bölündü˘ gü bulunmalıdır. = 142
7
oldu˘ guna göre istenen ( ) ikililerinin sayısı: 142 · 142 = 20164’tür.
16.

?

( 1 ) ( 2 ) ( 3 )

Üç tane terazinin kefelerinde, ¸sekilde görüldü˘ gü gibi, ¤, 4 ve o ¸seklinde nesneler
vardır. Terazilerin üçü de denge durumunda oldu˘ guna göre, üçüncü terazinin sol
kefesinde kaç tane o olmalıdır?
Çözüm : ¤ =  4 =  ve o =  denilirse,
¾
3 +  =9
 =  + 
denklem sistemi elde edilir. Bu ikisinden  yok edilerek, 6 =4 ⇒ 2 =3
bulunur. Dolayısıyla, o’ların sayısı 3’tür.