Page 160 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1997 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 159

17. Emre, Eren ve Ekin her üçü de aynı kitabı satın almak istiyorlar. Kitabınfiy­
atı Emre’nin parasından 14 lira; Eren’in parasından 37 lira ve Ekin’in parasın­
dan 25 lira daha fazladır. Emre, Eren ve Ekin’in üçünün paraları toplamı da
kitabın parasını kar¸sılamamaktadır. Bu kitabın lira olarak fiyatı bir tamsayı
oldu˘ guna göre, bu tamsayının rakamları toplamı kaçtır?
Çözüm : Kitabın fiyatı  lira olsun.  ≥ 37 oldu˘ gu açıktır. Birincinin  − 14,
ikincinin  − 37 ve üçüncünün  − 25 lira parası varmı¸s. Paralarının toplam miktarı
kitabın de˘ gerinden küçük oldu˘ gundan
( − 14) + ( − 37) + ( − 25) 
e¸sitsizli˘ ginden  38 elde edilir.  ≥ 37 ve  ≤ 37 e¸sitsizliklerinden  =37 olur
ve dolayısıyla, istenen sayı 3+7 = 10 olur.

3
2
19
2
18. A =1 − x +2x −3x +... − 19x +20x 20 ve B =1 + x +2x +3x 3
19
+... +19x +20x 20 veriliyor. A · B ifadesinden, parantezler açıldıktan sonra
19
elde edilen polinomda x un önündeki katsayı ne olur?
2
3
Çözüm :  =1 −  +2 − 3 + ··· − 19 19 +20 20 ve  =1 +  +
2
3
2 +3 + ·· · +19 19 +20 20 polinomları için,  ·  polinomunda ’in yerine
(−) koydu˘ gumuzda bir ¸sey de˘ gi¸smeyece˘ ginden, bu polinom çift fonksiyondur ve
dolayısıyla, ’in tek derecelerinin önündeki katsayılar sıfırdır.
19. ¸Sekilde, [AB] do˘ gru parçası, O merkezli ve
r yarıçaplı çemberin çapıdır. P merkezli ve s s
yarıçaplı çember, r yarıçaplı çembere te˘ gettir P
ve [AB]’ye de O noktasında te˘ gettir. N merkezli t
N
ve t yarıçaplı çember ise daha önce sözü edilen A r B
iki çembere ve [AB] do˘ gru parçasına te˘ gettir. O
r yarıçaplı dairenin alanı t yarıçaplı dairenin
alanının kaç katıdır?
4
Çözüm : PDN üçgeninden
³  ´ 2 ³  ´ 2 C
2
|ND| = +  − −  =2
2 2
4 P
ve OND üçgeninden, r t t
2
2
2
2
|ND| =( − ) −  =  − 2 2 D N
t t
2
olur. Böylece,  −2 =2 e¸sitli˘ ginden A B
 =4 bulunur. O halde r O
2
2
 =  =  (4) =16 2
e¸sitli˘ ginden  yarıçaplı dairenin alanının, 
yarıçaplı dairenin alanının 16 katı oldu˘ gu
görülür.