Page 162 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1998 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

Lise 1­2 Sorularının Çözümleri

1. T = 1!+2! +3!+ ... + 1997! + 1998! toplamının son iki basama˘ gındaki
rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm : 10! sayısından sonra gelen terimlerin son iki basama˘ gı 00 oldu˘ gundan,
sadece
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! + 9!
toplamının son iki basama˘ gına bakmak yeter. Bu da

01 + 02 + 06 + 24 + 20 + 20 + 40 + 20 + 80
toplamının son iki basama˘ gı, yani 13 ile aynıdır. Sorunun cevabı 1+3 = 4’tür.

2. A =2 1998 sayısının onluk sayı sistemindeki yazılı¸sında en ba¸staki rakam
silinip en sona yazılarak B sayısı elde ediliyor. |A − B|’nin rakamlar toplamına
a, a’nın rakamlar toplamına b ve b’nin rakamlar toplamına da c denirse, c’nin
rakamlar toplamı kaçtır?
Çözüm : | − |’nin rakamları toplamı 9’un bir katı olacaktır.  sayısının bir basamaklı
olaca˘ gını görmek zor de˘ gildir. Dolayısıyla, sorunun cevabı 9’dur.

√
3. 0 ≤ n ≤ 1998 için, 3 98 · n tamsayı olacak ¸sekilde kaç tane n tamsayısı
vardır?
√
Çözüm : 98 ·  =  tamsayı ise 2 · 7 ·  =  ifadesinden,
3
2
3
 =0 veya  =2 2+3 · 3 3 · 7
biçiminde olması gerekti˘ gi ve ( ) ikilisi sadece (0 0)  (1 0)  (2 0) ve (0 1) olması
durumunda 0 ≤  ≤ 1998 ¸sartının sa˘ glandı˘ gı görülür. Dolayısıyla, 5 tane  sayısı
vardır.

4. Bir 4 basamaklı sayının rakamlarının ters sırada dizilmesinden elde edilen 4
basamaklı sayı ilk verilen sayının 4 katı olmaktadır. Bu sayının rakamlar toplamı
nedir?
Çözüm :  =  olsun.  =4 ko¸sulundan
4 (1000 + 100 +10 + ) = 1000 + 100 +10 + 
olur. Buradan,  =2 =8 oldu˘ gu görülür. Bu de˘ gerler yukarıda yerle¸stirilirse,
400 +40 + 30 = 100 +10
denkleminden 2 =13 +1 olur ki, buradan  =1 ve  =7 bulunur. O halde
istenilen sayının rakamları toplamı 18’dir.