Page 163 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

162 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

5. Düzlem üzerinde verilmi¸s15noktanın6’sıbir do˘ gru üzerindedir ve bunların
dı¸sında ba¸ska hiçbir üç nokta bir do˘ gru üzerinde de˘ gildir. Kö¸seleri bu 15 nok­
tada bulunan kaç üçgen vardır?

9
Çözüm : Kö¸seleri do˘ grunun dı¸sında olan ¡ ¢ =84 üçgen, kö¸selerinden biri do˘ gru
¡ ¢ 3 ¡ ¢
6
9
üzerinde olan 2 · 6 = 216 üçgen ve kö¸selerinden ikisi do˘ gru üzerinde olan 2 · 9=
135 üçgen olmak üzere toplam 435 üçgen vardır.
6. bxc ile x reel sayısının tam kısmı gösterildi˘ gine göre x− bxc = b(0, 5) x − 2c
denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?
Çözüm :  = bc+b(0 5)  − 2c e¸sitli˘ ginden görülüyor ki, verilen denklemi sa˘ glayan
her sayı tamsayı olmalıdır. Dolayısıyla,
b(0 5)  − 2c =0 ⇒ 0 ≤ (0 5) − 2  1
⇒ 2 ≤ (0 5) 3
⇒ 4 ≤  6
oldu˘ gundan  ∈ {4 5} olmalıdır.

7. ¸ Sekilde görülen yaylar P merkezli ve N B
merkezli çemberlerin yaylarıdır. BACaçısı 22 ◦
b
oldu˘ guna göre ACBaçısınınölçüsükaç dere­ P
b
cedir? C
A N
B
.
Çözüm : ¸Sekilden izleyerek 2x
1
(ACB)= (180 − 3) P 2x
b
2 3x . C
1 x
= (180 − 66) = 57 A x N
2
derece oldu˘ gu görülebilir.
8. Bir dizinin ilk terimi 1’dir ve her
n ≥ 2 için ilk n teriminin çarpımı n dir. Dizinin altıncı ve onbirinci terim­
2
lerinin toplamı kaçtır?
Çözüm : Dizinin ’inci terimi   olmak üzere,
 2
 1  2 ···  −1  
  = = 2
 1  2 ···  −1 ( − 1)
biçimindedir. O halde,
6 2 11 2 53
 6 +  11 = + =
5 2 10 2 20
bulunur.