Page 164 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1998 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 163

9. Her yıldız ( * ) bir rakam olmak üzere,
* 3 *
× * 7
* * *
+ * 0 *
* * * * 8
ifadesindeki çarpımın rakamları toplamı nedir?
Çözüm : Okuyucuya bırakılmı¸stır.

10. Bir ABCD yamu˘ gunun kö¸segenleri birbirine dik olmak üzere, uzunlukları 5
ve 12’dir. Yamu˘ gun orta tabanının uzunlu˘ gu kaçtır?

Çözüm : |AB|’yi sa˘ ga do˘ gru |CD| D C
kadar uzatarak F noktasını bulalım. Bu
takdirde, DBFC bir paralelkenar ve ACF E
dik üçgen olur. Pisagor Teoremi kul­
lanılarak,
2 2 2
|AF| = |AC| + |CF|
A B F
2 2 2 2
= |AC| + |DB| =5 +12 = 169
bulunur. Böylece, |AF| = |AB| + |BF| =13 ve yamu˘ gun orta tabanı
|AB| + |DC| |AB| + |BF| 13
= = =6 5
2 2 2
olur.

2
11. x +ax +3a =0 denkleminin kökleri tamsayı ise, a reel sayısının alabile­
ce˘ gi de˘ gerler sayısı kaçtır?
2
Çözüm :  +  +3 =0 denkleminin kökler toplamı (−) ya e¸sit oldu˘ gundan, 
bir tamsayı olmak zorundadır. Denklemden
 2 9
 = − =3 −  −
 +3  +3
olur ve buradan da (+3)’ün alabilece˘ gi de˘ gerlerin ±1 ±3 ±9 oldu˘ gu görülür. Basit
hesaplamalardan sonra  için dört ayrı de˘ ger bulunur: −4 0 12 16.

2
12. x +y = x denklemini sa˘ glayan (x, y) do˘ gal sayı ikililerinin sayısı kaçtır?
2
3
2
2
3
2
2
Çözüm :  =  −  =  ( − 1) e¸sitli˘ ginde,  − 1=   dolayısıyla,  =
¡
¢
2
 −1 yazılırsa,  =   +1  ∈ N olur. Yani denklemin do˘ gal sayılarda sonsuz
2
çoklukta çözümü vardır.