Page 165 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

164 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları


13. 101 · 102 · 103 · ... · 300 = 7 ·n, (k, n ∈ N) e¸sitli˘ gini sa˘ glayan en büyük
k sayısı kaçtır?
Çözüm :
300!

7 ·  = 101 · 102 ··· 300 =
100!
7’nin 300!’i bölen en büyük kuvveti 48; 100!’i bölen en büyük kuvveti ise 16’dır. O
halde istenen sayı 48 − 16 = 32.(Hatırlatma : 7’nin ! sayısını bölen en büyük
¥  ¦ ¥  ¦ ¥  ¦
kuvveti  = 7 1 + 7 2 + 7 3 + ··· formülüyle bulunur).

14. ABC üçgeninde [AK] açıortayı çizilmi¸stir (K noktası [BC] kenarı üzerindedir).
ABK üçgeninin içte˘ get çemberi ile ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezleri
çakı¸sıyorsa, ACB açısı kaç derecedir?
b
A Çözüm : ¸Sekilden,
  2 10 = 180 ⇒  =18 ⇒ 4 =72 ◦
◦
◦
bulunur.
3 C
O 
K


B

¡ 1 2 99 100 ¢ 3
15. P (x) = 1+ x +x + ··· + x +x polinomunda parantezler açıldık­
tan sonra, x 111 in katsayısı ne olacaktır?
Çözüm : () için verilen ifade
¡ ¢¡ ¢¡ ¢
2
2
1
2
 ()= 1+ + + ··· + 100 1++ + ··· + 100 1++ + ·· · + 100
çarpımı olarak dü¸sünülürse, bu çarpımın açılmasıyla elde edilen
 ++ , 0 ≤    ≤ 100
terimlerinden  +  +  = 111 olanların sayısı bulunmalıdır.   ve , 111’e kadar
de˘ gerler alabilseydi, bu sayı
113 · 112
¡ ¢
111+3−1 = = 6328
2 2
olurdu. Ancak   ve  en çok 100 de˘ gerini alabilirler, bu nedenle bu sayıdan
3 · (1 + 2 + ··· + 10 + 11) = 198
sayısı çıkarılmalıdır (Bunun nedenini dü¸sününüz!). Böylece, do˘ gru yanıt 6130 olur.