Page 166 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1998 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 165

16. 0, 1, 2, 3, 4, 5 rakamları kullanılarak yazılabilen tüm dört basamaklı çift
sayılarınenba¸staki rakamlarının toplamı nedir?
˙
Çözüm : Son rakam için 3 seçenek vardır: 0, 2, 4. Ikinci ve üçüncü basamaklar için
˙
6 · 6=36 seçenek vardır. Ilk basamak için ise 5 seçenek vardır. Böylece, toplam
˙
3 · 36 · 5 = 180 seçenek vardır. Ilk basamaktaki rakamların toplamı
180
(1 +2+3+4+5) = 540
5
bulunur.
17. Bir ABC üçgeninin [AB] kenarının orta noktası olan N’den [BC]’ye çizilen
paralel do˘ gru [AC] kenarını M noktasında kesiyor. [BC] kenarı üzerinde, |BP| =
2|PC| olan P noktası alınıyor. [NM] ve [AP] do˘ grularının kesi¸sti˘ gi nokta R olsun.
ARM üçgeninin alanı 1 ise, NRPB yamu˘ gunun alanı kaçtır?

Çözüm : ¸Sekilden C
(NRPB) = (APB)−2=2 · 4 − 2=6 P
bulunur. M 1
R
2
A B
N
18. a ve b sayılarının toplamı x +6x +1 = 0 denkleminin köklerinin toplamına;
2
a ve b nin çarpımı ise, x +8x +7 = 0 denkleminin köklerinin çarpımına e¸sit­
2
tir. a ve b sayılarından büyük olan kaçtır?
2
Çözüm : Vieta formülünden,  +  = −6,  ·  =7 ;yani,  ve ,  +6 +7 = 0
denkleminin kökleridir. O halde
½ √ ¾
−6 ± 36 − 28 √
{ } =  = −3+ 2
2
olur.
19. x −y< −1 ve x +y< 5 e¸sitsizliklerini sa˘ glayan kaç (x, y) tamsayı
2
2
ikilisi vardır?
2
2
2
Çözüm :  −  −1 ve  +  5 e¸sitsizlikleri taraf tarafa toplanarak, 0 ≤  
2
2
2 ⇒  ∈ {0 ±1} bulunur. Di˘ ger yandan, 1+    5 −  olaca˘ gından, verilen
e¸sitsizlikleri sa˘ glayan tam 5 tane tamsayı ikilisi vardır: (0,2), (0,3), (0,4), (1,3), (­1,3).
˙
20. Iki çocuk birlikte 10 menek¸se, 15 lale, 14 karanfil topladı. Her çocu˘ ga, her
çiçektenenaz3’ertanedü¸smek üzere, tüm çiçekler kaç farklı ¸sekilde bölü¸stürülür?
Çözüm :Her çocuk 3’er çiçek aldıktan sonra geriye 10 − 6=4 menek¸se, 15 − 6=9
lale ve 14−6=8 karanfil kalır. Bunlar üç çocuk arasında (4+1)(9+1)(8+1) = 450
farklı biçimde payla¸stırılabilir.