Page 168 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1998 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 167

7. ¸Sekilde ABCD, DCEF, FEKL kareler ise, α + β neye e¸sittir?
1 1
Çözüm : sin  = √ , sin  = √ oldu˘ gun­
5 10 B C E K
dan, α β
1
sin ( + )= sin  cos  +sin  cos  = √
2
ve dolayısıyla,  +  =45 bulunur. A D F L
◦
8. Bir ABCD yamu˘ gunun kö¸segenleri birbirine dik olmak üzere, uzunlukları 5
ve 12’dir. Yamu˘ gun orta tabanının uzunlu˘ gu kaçtır?
Çözüm : Lise 1­2, 10. sorunun çözümüne bakınız.

9. Her üçü de sıfırdan farklı x(y − z) y(z − x) z(x − y) sayıları bir geometrik
dizi olu¸sturmaktadır. Dizi çarpanı q ise, q a¸sa˘ gıdaki denklemlerden hangisini
sa˘ glar?
Çözüm : Çok zor gibi görünen bu sorunun hilesi verilen terimlerin toplamının sıfır
olmasıdır: ( − )+ ( − )+ ( − )= 0. Buradan uygun bir  6=0 için
 +  +  =0 ve böylece,  +  +1 = 0 oldu˘ gu görülür.
2
2
2
3
2
10. x +y = x denklemini sa˘ glayan (x, y) do˘ gal sayı ikililerinin sayısı kaçtır?
Çözüm : Lise 1­2, 12. sorunun çözümüne bakınız.
11. A açısı dik olan ABC üçgeninde [AH] yüksekli˘ gi çizilmi¸stir. ABH üçgeninin
içte˘ get çemberinin alanı S 1 , AHC üçgeninin içte˘ get çemberinin alanı S 2 , |AB|= c,
|AC|= b, |BH|= p ve |HC|= k ise, S 2 oranını bulunuz.
S 1
Çözüm : ¸Sekilde, AKO 1 ve
A
CLO 2 dik üçgenleri ile AHC
ve BAC dik üçgenleri benzer
4 4
üçgenlerdir. AKO 1 ∼ CLO 2
ve AHC ∼ BAC. Çemberlerin
4
4
K O 2 yarıçaplarına  1 ve  2 ve [AH]
O 1
yüksekli˘ ginin uzunlu˘ guna da 
B H L C denilirse,
 2 |O 2 L| |CL|  −  2   |CH| |CA| 
= = = = ve = = =
 1 |O 1 K| |AK|  −  1   |AH| |BA| 
2
   2
 2
olur. Dolayısıyla, = 2 = bulunur.
2
 1    2
1