Page 170 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1998 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 169

D D
D D

A B A B

C C
Çözüm : A’dan giri¸s yapıldı˘ gını kabul edebiliriz. A dan giri¸ste 2 farklı yol izlenebilir.
A’dan C’ye gidildi˘ gini varsayabiliriz. C’den sonra, D’ye ula¸sılması gerekir ve bunun
için de 2 farklı yol izlenebilir. D’den sonra da izlenebilecek yol sayısı 2’dir. O halde,
belirtilen biçimde bir tur 2 · 2 · 2= 8 farklı biçimde gerçekle¸stirilebilir. Örnek olarak,
¸ sekillerde A’dan C’ ye, C’ den D’ye gidilerek yapılan iki yürüyü¸s gösterilmi¸stir.

¡ 1 2 99 100 ¢ 3
17. P (x) = 1+ x +x + ··· + x +x polinomunda parantezler açıl­
dıktan sonra, x 111 in katsayısı ne olacaktır?
Çözüm : Lise 1–2, 15. sorunun çözümüne bakınız.

18. N 0 = {0, 1, 2, ...} olmak üzere f : N × N 0 → N 0 fonksiyonu her (x, y) ∈
0
N 0 × N 0 için
f(0,y) = y +1, f(x +1, 0) = f (x, 1) ve
f(x +1,y +1) = f (x f(x +1,y))
e¸sitliklerini sa˘ glamaktadır. f(1, 1998) kaçtır?
Çözüm : (0)= +1, (+1 0) = ( 1)(+1+1) = ( (+1))
e¸sitliklerinden,
(1 0) = (0 1) = 2, (1 1) = (0(1 0)) = (0 2) = 3
ve
(1 2) = (0(1 1)) = (0 3) = 4
elde edilir. Tümevarımla,
(1)=  +2 ve dolayısıyla (1 1998) = 2000
bulunur.

˙
19. Iki çocuk birlikte 10 menek¸se, 15 lale, 14 karanfil topladı. Her çocu˘ ga, her
çiçektenenaz3’ertanedü¸smek üzere, tüm çiçekler kaç farklı ¸sekilde bölü¸stü­
rülebilir?
Çözüm : Lise 1–2, 20. sorunun çözümüne bakınız.