Page 172 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1999 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

Lise 1­2 Sorularının Çözümleri

1. {1, 2, 3, ..., 1999} kümesinin, eleman sayısı tek sayı olan kaç tane alt kümesi
vardır?
Çözüm : Tek sayıda elemanı olan altkümelerle çift sayıda elemanı olan altkümelerin
sayısı aynıdır; çünkü tek sayıda elemanı olan her altkümenin tümleyeninin çift sayıda
elemanı vardır. Dolayısıyla, istenen sayı 2 1999 2=2 1998 ’dir.

2. n 1998 −1 sayısının 10 ile tam bölünmesini sa˘ glayan, 2000’den küçük kaç tane
pozitif n tamsayısı vardır?
Çözüm : Sözkonusu sayıların son basama˘ gı ya 1, ya da 9 olabilir. Ortadaki iki
basamak için kısıtlama yoktur; ancak, ilk basamak ya 0, ya da 1 olabilir. Dolayısıyla,
bu tür sayılardan 2 · 10 · 10 · 2 = 400 tane vardır.

3. 1, 2, 3, 4, ..., 19999 sonlu dizisinin ardı¸sık kaç teriminin toplamı 13678’dir?
Çözüm : Ardı¸sık  terimin toplamı 13678 olsun:
( +1)+( +2) + ··· +( + ) = 13678 = 2 · 7 · 977
µ ¶
 +1
Buradan  ·  + =2 · 7 · 977 olur. Bu denklemden  =7 oldu˘ gu görülür.
2

4. Açılarının derece cinsinden ölçüleri birer tamsayı ve A< B< C olmak
b
b
b
ko¸suluyla, kaç tane geni¸saçılı ABC üçgeni olu¸sturulabilir?
Çözüm : 1 ≤    ≤ 177,  +  +  = 180,  ≥ 91 ifadelerinden,
3 ≤ + ≤ 89 bulunur. O halde, Üçgen sayısı, yani 3 ≤  +  ≤ 89 olan
1 ≤ ’ler sayısı
2(1+2+ ·· · + 43) + 44 = 44 = 1936’dır.
2

5. A = 999...99 sayısı için, A nin rakamları toplamı kaçtır?
2
| {z }
81 tane 9
Çözüm :  = 999 ·· · 99 =10 81 − 1 oldu˘ gundan,
| {z }
81 tane 9
2
 =10 162 − 2 · 10 81 + 1 = 99999 8000 1
| {z } | {z }
80 tane 80 tane
olur. Böylece,  ’nin rakamları toplamı 9 · 81 = 729 olarak bulunur.
2