Page 173 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

172 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

x 3 2
6. p 2 +x −4= 0 denkleminin kaç reel kökü vardır?
4 − x
 3 2 √ 2
Çözüm : p 2 +  − 4=0 denkleminin her iki yanı 4 −  ile çarpılırsa,
4 − 
√ ¡ ¢ ¡ ¢ 32
3
 = 4 −  2 4 −  2 = 4 −  2
√
2
2
2
olur. Buradan,  =4− e¸sitli˘ ginden  =2,yani  = 2 elde edilir. (’in negatif
olamayaca˘ gına dikkat ediniz.)
7. Dı¸sbükey bir 17­genin tüm kö¸segenleri çizilmi¸s ve böylece, kenarları kö¸se­
genlerin parçalarından olu¸sanbirçokçokgenelde edilmi¸stir. Bu yeni çokgenler
arasında kenar sayısı en büyük olan dı¸sbükey çokgenin kenar sayısı en fazla kaç
olabilir?
Çözüm : Verilen çokgenin her kö¸sesinden çıkan kö¸segenlerden en fazla iki tanesi
bir yeni çokgenin kenarlarını içerebilir. Dolayısıyla, yeni çokgenin kenar sayısı (kö¸se
sayısı) verilen çokgenin kenar (kö¸se) sayısından, yani 17 den, fazla olamaz. Di˘ ger
yandan, düzgün 17­genin içinde, tam ortasında, kenarları 17­genin kö¸segenlerinin
parçalarından olu¸san bir 17­gen vardır.

8. 8 × 8= 64 haneli satranç tahtası üzerinde kaç tane farklı kare çizilebilir?
(Her kare tam sayıda hane içermelidir; boyutları, veya zapt ettikleri yerler farklı
olan karelere farklı diyoruz. Örne˘ gin, 64 tane 1 × 1 karesi çizmek mümkündür.)
Çözüm :
Kenar uzunlu˘ gu 1 olanlar tam 8 tane,
2
kenar uzunlu˘ gu 2 olanlar tam 7 tane,
2
kenar uzunlu˘ gu 3 olanlar tam 6 tane,
2
. . .
kenar uzunlu˘ gu 7 olanlar tam 2 tane,
2
kenar uzunlu˘ gu 8 olanlar tam 1 tane
2
oldu˘ gundan, toplam kare sayısı 1 +2 +...+8 = 204 olur.
2
2
2

9. ¸ Sekilde, bir e¸skenar üçgen 9 tane e¸skenar üçgene
parçalanmı¸stır. Dü˘ güm noktalarından en az kaç tanesi silin­  
melidir ki, kö¸seleri kalan noktalarda olan bir e¸skenar üçgen   
çizilemesin?
   

Çözüm : En az 4 nokta atılmalıdır (¸Sekilde, atılması gereken
 
noktalar çember içine alınmı¸stır).
  
   