Page 174 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1999 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 173

10. Hızı sabit olan bir gemi, bir nehrin aynı kıyısında bulunan A kentinden B
kentine 5 saatte ve B kentinden A kentine 7 saatte gidiyor. Nehre atılan bir tahta
parçası A kentinden B kentine kaç saatte ula¸sır?

Çözüm : Suyun (tahtanın) hızı , geminin hızı  ise, gidilen yol 5( + )=7( −
)’dir. Buradan,
µ ¶ µ ¶
 
5 +1 =7 − 1 ⇒  =6
 
5( + ) 5(6 + )
bulunur. O halde, tahta, A’dan B’ye = =35 saatte ula¸sır.
 7
11. A, B ve C farklı rakamları göstermek üzere,
A
A B
+ A B C

B C B
2
2
2
ise, A +B +C toplamı kaçtır?
Çözüm : Verilen toplamına i¸slemine göre,
 +10 + 100 +  +10 +  = 101 +10
yazılıp düzenlenirse, 111 =90 +9 =9(10 + ) ve buradan da 37 =
3(10 + ) bulunur. Bu e¸sitli˘ ge göre, 10 +  =74 olmalıdır. Bu durumda,
2
2
2
 =6 =7 =4 olaca˘ gından,  +  +  = 101 elde edilir.
12. Merkezi O noktası ve yarıçapı 3 olan bir çemberin bir çapı [AB] ve bu çapı
45 lik açı ile kesen bir kiri¸si [CD] olmak üzere, [CM]⊥[AB], [DN]⊥[AB]; M, N
◦
∈ [AB] ve |CM| =2 ise, |DN| uzunlu˘ gu kaçtır?

Çözüm : |OC| = |OD| = 3 oldu˘ gundan DCO bir D
ikizkenar üçgendir.
m(DCO ) = m(CDO) = 
b
b
olmak üzere, m(DON) = 45 +  =m(OCM) olur. A M B
◦
b
b
Dolayısıyla, O N
4 4 √ √
MCO = NOD ⇒ |DN| = |MO| = 3 − 2 = 5
2
2
bulunur. C
13. Bir küpün her bir yüzünü, siyah veya beyaza boyuyoruz. (Bütün yüzleri aynı
renkle boyamaya da izin veriliyor). Kaç farklı durum söz konusudur? (Küpün
herhangi bir dönmesi sonucunda çakı¸sabilen durumlar aynı kabul ediliyor.)