Page 175 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

174 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

Çözüm :
Beyaz renk hiç kullanılmazsa, 1 durum;
beyaz renk 1 yüze kullanılırsa, 1 durum;
beyaz renk 2 yüze kullanılırsa, 2 durum;
beyaz renk 3 yüze kullanılırsa, 2 durum;
vardır. Beyaz rengin 4 yüze kullanılması siyah rengin 2; 5 yüze kullanılması siyahın
1; 6 yüze kullanılması siyahın hiç kullanılmaması demektir. Böylece, 1+1+2+2+
2+1+1 = 10 durum vardır.

3
3
14. 3 +5 +7 + ·· · +1999 sayısı 999000 sayısına bölündü˘ günde kalan kaçtır?
3
3
Çözüm :
999 999 999 999 999
X 3 X X X X
2
3
(2 +1) =8  +12  +6  + 1
=1 =1 =1 =1 =1
µ ¶ 2
999 · 1000 999 · 1000 · 1999 999 · 1000
=8 · +12 · +6 · +999
2 6 2
= 999000 +999
oldu˘ gundan, kalan 999 olarak bulunur.
. . . . . . . . . .
15. 1 × 9 boyutlarında bir
dikdörtgen, ¸sekilde görül­ . . . . . . . . . .
dü˘ gü gibi 9 tane e¸sit kareye
bölünmü¸s ve bu karelerin kö¸seleri i¸saretlenmi¸stir. Kö¸seleri, i¸saretlenmi¸snokta­
larda bulunan kaç tane ikizkenar üçgen çizilebilir?
Çözüm : Her karenin her kö¸segeni iki tane dik ikizkenar üçgenin hipotenüsü ola­
ca˘ gından, tam 4 · 9=36 tane dik ikizkenar üçgen çizilebilir. Çizilebilecek di˘ ger
ikizkenar üçgenlerin tabanı dikdörtgenin uzun kenarları üzerinde bulunmalıdır. Ta­
banı dikdörtgenin alt kenarı üzerinde bulunan ikizkenar üçgenleri saymak için, alt
kenar üzerindeki noktaları a¸sa˘ gıdaki gibi i¸saretleyelim:
• • • • • • • • • •

• • • • • • • • • •
Tabanı alt kenar üzerinde bulunan bir ikizkenar üçgenin tabana ait kö¸selerinin “i¸sareti”
¡ ¢
5 =20 ve simetriden dolayı, tabanı üst
aynı olaca˘ gından, bu üçgenlerin sayısı 2 ·
2
¡ ¢
5
kenar üzerinde olanların sayısı da 2 · 2 =20’dir. Böylece, çizilebilecek ikizkenar
üçgenlerin toplam sayısı 36 + 20 + 20 = 76 olarak bulunur.