Page 176 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1999 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 175

D C
16. ¸Sekilde, ABCD bir kare, E ∈ [AB ve |AE|=|AC|’dir.
F
[AF] ⊥ [DE] ise, |EF| nedir?
|ED|
Çözüm : Karenin kenar uzunlu˘ gu 1 birim olsun.
√
|AE| = |AC| = 2 olur. Benzer dik üçgenlerden A B E
D C
|AD| |DF| |EF| |AE|
= ve =
|ED| |AD| |AE| |ED| F
2
elde edilir. Buradan 2= |AE| = |EF|· |ED| ve
2
1= |AD| = |ED|·|DF| olur. Bu iki e¸sitli˘ gi taraf
tarafa bölersek,
|EF| A
=2 ⇒ |EF| =2 |DF| B E
|DF|
elde edilir.

|ED| = |EF| + |DF| =2 |DF| + |DF| =3 |DF|
oldu˘ gundan, sonuçta |EF| = 2 bulunur.
|ED| 3

17. ¸Sekilde, ABCD bir kare ve C, A, F nokta­ D C
ları do˘ grusal olmak üzere DEFA bir e¸skenar dört­
gendir. [EC] ∩ [FD] ={K} olsun. |KA| oranı K
|KC| E
kaçtır?
Çözüm : |EK| = |KA| oldu˘ gundan, A B

|KA| |EK|
=
|KC| |KC| F
4 4
olur. Buradan, EKD ∼ CKF benzerli˘ ginden,
|EK| |ED| 1 √
= = √ = 2 − 1
|KC| |FC| 2+1
bulunur.
11n +3
18. ,(n ∈ N) kesrini kısaltan k 6=1 do˘ gal sayısının rakamlarının toplamı
23n +2
kaçtır?
Çözüm : Verilen kesri kısaltan  6=1 sayısı, pay ve paydanın OBEB’ini, yani
(23 +2 11 +3) = ( − 4 11 +3) = ( − 4 47) = 47
sayısını bölmelidir. 47 asal ve  6=1 oldu˘ gundan,  =47 ve dolayısıyla, cevap
4+7 = 11 olarak bulunur.