Page 178 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1999 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 177

Lise 3 Sorularının Çözümleri

1. 2000’den küçük pozitif n tamsayılarından kaç tanesi için n 2000 −1 sayısı 10
ile tam bölünür?
Çözüm : Lise I­II, Soru 2 nin çözümüne benzer olarak, 2000’den küçük olan ve son
rakamı 1, 3, 7 veya 9 olan sayıların sayısı 4 · (2 · 10 · 10) = 800’dür.

2
2. A = 999...99 sayısı için A nin rakamları toplamı kaçtır?
| {z }
81 tane 9
Çözüm : Lise 1–2, Soru 3’ün çözümüne bakınız.

3.

1 × 19 boyutlarında bir dikdörtgen, ¸sekilde görüldü˘ gü gibi, 19 tane e¸sit kareye
bölünmü¸s ve karelerin kö¸seleri i¸saretlenmi¸stir. Kö¸seleri, i¸saretlenmi¸snoktalarda
bulunan kaç tane ikizkenar üçgen çizilebilir?
Çözüm : Lise 1­2, Soru 15’in çözümüne bakınız.

4.

…

√
Kenar uzunlu˘ gu 2 3 olan e¸skenar üçgenin içte˘ get çemberi çiziliyor. Üçgenin
içinde ve çemberin dı¸sında kalan üç bölgeden her birinin içine, hem kenarlara
hem de çembere te˘ get olan birer çember çiziliyor. Bu i¸slem, kö¸selere do˘ gru son­
suz kez tekrarlanıyor. Böylece ortaya çıkan tüm dairelerin alanlarının toplamı
nedir?
˙
˙
Çözüm : Içte˘ get çemberin yarıçapı 1’dir. Ikinci çemberin
yarıçapı  ile gösterilirse, üçgenlerin benzerli˘ ginden,
1 2 1
= ⇒  =
 1 −  3
bulunur. Benzer ¸sekilde,
1 1 1
üçüncü çemberin yarıçapı · = ,
3 3 3 2
1
−ıncı çemberin yarıçapı
3 −1
olur.