Page 179 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

178 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

Böylece, bir kö¸seye do˘ gru, içte˘ get çember dı¸sındaki dairelerin alanları toplamı :
∞ µ ¶ 2 ∞
X 1  X 1  1 
 = = · =
3  9 9 −1 9 1 8
=1 =1 1 −
9
oldu˘ gundan, tüm dairelerin alanları toplamı :
 11
³ ´
3 · +  =
8 8
olarak bulunur.
5. 99 do˘ gru, düzlemi n parçaya bölmü¸stür. n’nin 300’ü a¸smadı˘ gı biliniyorsa,
n’nin alabilece˘ gi kaç farklı de˘ ger vardır?
Çözüm : ¸Su dört durumda  farklı de˘ gerler alır: do˘ gruların hepsi paralel ise, =100;
do˘ grulardan 98’i paralel ve biri bunları kesiyorsa, =2·99;do˘ gruların 97’si paralel ve
di˘ ger ikisi bu 97 do˘ gruyu kesiyor, fakat kendileri kesi¸smiyorsa,  =3·98;do˘ grulardan
97’si paralel ve di˘ ger ikisi hem bu 97 do˘ gruyu hem de birbirini kesiyor, fakat bu iki
do˘ grunun kesim noktası di˘ ger 97 do˘ grudan hiçbiri üzerinde de˘ gilse,  =3 · 98 + 1
olur. Böylece,  300 için ’nin alabilece˘ gi farklı de˘ gerlerin sayısı 4’tür.

x 3 2
6. p 2 +x −4= 0 denkleminin kaç reel kökü vardır?
4 − x
Çözüm : Lise 1­2, Soru 6’nın çözümüne bakınız

7. B =10 10 7 +10 10 6 +10 10 5 +10 10 4 sayısı 7’ye bölündü˘ günde kalan nedir?
Çözüm : Fermat Teoreminden 10 ≡ 1(mod 7). Ayrıca, her  ≥ 1 için
6
4
4
4
10 ≡ 4(mod 6)’dır. O halde,  =10 +10 +10 +10 ≡ 2(mod7) bulunur.
4

p √ p √
8. x +3 − 4 x − 1+ x +8 − 6  − 1 =1 denkleminin reel çözüm­
lerinin sayısı kaçtır?
p √ p √
Çözüm :  +3 − 4  − 1+  +8 − 6  − 1=1 denkleminde kök içindeki
ifadeler “kare” olarak ifade edilebilir. Buna göre,
q q
¡√ ¢ 2 ¡√ ¢ 2
 − 1 − 2 +  − 1 − 3 =1
√
olarak yazılan denklemde,  − 1=  denilirse, | − 2| + | − 3| =1 denklemi elde
edilir. Bu mutlak de˘ gerli denklemin çözüm kümesi 2 ≤  ≤ 3 oldu˘ gundan, verilen
denklemin sonsuz reel çözümü vardır.
9. F (x) ve f(x) fonksiyonları tüm reel eksende verilmi¸sreelde˘ gerli fonksi­
yonlar olmak üzere, her x ve y için F (x + f(y)) = 3x + y +7 e¸sitli˘ gi sa˘ glan­
maktadır. f(2 + F (7)) de˘ gerini bulunuz.