Page 180 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1999 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 179

Çözüm : ( + ()) = 3 +  +7 e¸sitli˘ ginde, (0) =  denilirse, her  için
( + )= 3 +7 ve böylece, ()= 3( − )+ 7 = 3 +(7 − 3) elde edilir.
Problemde verilen e¸sitlikte bu ba˘ gıntı kullanılırsa,
3 +  +7 = ( + ()) = 3( + ()) + (7 − 3)
1
olur. Buradan  =3() − 3 e¸sitli˘ ginden  ()=  +  elde edilir. Böylece,
3
1 1
(2 + (7)) = (2 + (7)) +  = (2 + 3 · 7+(7 − 3)) +  =10
3 3
olarak bulunur.

10. x ve y, iki basamaklı sayılar olup, x< y’dir. x · y çarpımı 2 ile ba¸slayan
dört basamaklı bir sayıdır. E˘ ger bu 2’yi silersek, geriye kalan üç basamaklı sayı
(x + y)’ye e¸sit oluyor. Bu özelli˘ ge sahip kaç tane (x, y) ikilisi vardır?
Çözüm :  − 2000 =  +  denklemini  −  −  + 1 = 2001 biçiminde yazıp,
çarpanlarına ayırırsak,
( − 1)( − 1) =2001 =3 · 23 · 29
elde edilir. O halde,  ve  iki basamaklı sayılar ve  oldu˘ gundan, istenileni
sa˘ glayan ( ) ikilileri, (23 + 1 3 · 29 + 1) ve (29 + 1 3 · 23 + 1)’den ibarettir.

11. Bir küpün her bir yüzünü, siyah veya beyaza boyuyoruz. (Bütün yüzleri aynı
renkle boyamaya da izin veriliyor.) Kaç farklı durum söz konusudur? (Küpün
herhangi bir dönmesi sonucunda çakı¸sabilen durumlar aynı kabul ediliyor.)
Çözüm : Lise 1­2, Soru 13’ün çözümüne bakınız.

3
3
3
3
12. A =3 +5 +7 + ··· +1999 sayısını 999000 sayısına bölünce kalan
nedir?
Çözüm : Lise 1­2, Soru 14’ün çözümüne bakınız.
13. Açılarının derece cinsinden ölçüleri birer tamsayı ve A< B< C olmak
b
b
b
ko¸suluyla kaç tane geni¸s açılı ABC üçgeni olu¸sturulabilir?
Çözüm : Lise 1­2, Soru 5’in çözümüne bakınız.
14. Cahit ö˘ gretmen ve ö˘ grencisi Kemal tanı¸stıklarında her ikisinin de ya¸sları
do˘ gum yıllarının rakamlarının toplamına e¸sit idi. Cahit ö˘ gretmen ve Kemal aynı
binyılda do˘ gduklarına göre aralarındaki ya¸s farkı kaçtır?
Çözüm : Cahit ö˘ gretmenin do˘ gum yılı , Kemal’in do˘ gum yılı  olsun. Cahit
ö˘ gretmenle Kemal’in ya¸sları, sırasıyla, + + + ve +++’dir. Dolayısıyla,
Cahit ö˘ gretmenle Kemal’in ya¸s farkı, iki usulle hesaplanırsa,
( +  + ) − ( +  + )=  − 