Page 183 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2000 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

Lise 1 Sorularının çözümleri

1. 369 sayısı bir kaç ardı¸sık do˘ gal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde
yazılabilir?
Çözüm :  ≥ 2 olmak üzere, ( +1) + ( +2) + ·· · +( + ) = 369 e¸sitli˘ ginn
sa˘ glanması için gerek ve yeter ko¸sul,
(2 +  +1)  2
= 369 = 3 · 41
2
2
olmasıdır. Yani (2 +  +1)· =2·3 ·41 olmalıdır. Bu e¸sitlik ise  =2 3 6 9 18
de˘ gerleri için sa˘ glanır.

2. m ve n sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak üzere, (m, n) ikililerini
dü¸sününüz. Bu ikililerden kaç tanesi için n sayısı m’yi tam böler?




4
3
Çözüm : 2000 = 2 · 5 ;  =2 · 5  =2 · 5 olsun.
 |  ⇔ 4 ≥  ≥  ≥ 0 ve 3 ≥  ≥  ≥ 0
Bu ko¸sulları sa˘ glayan tam 15 tane ( ) ikilisi ve tam 10 tane ( ) ikilisi vardır.
Dolayısıyla,  |  olan ( ) ikililerinin sayısı 15 · 10 = 150 olarak bulunur.
3. ¸ Sekilde, merkezi O ve çapı [AB] olan çem­ C D
ber üzerinde C ve D noktaları i¸saretlenmi¸solup, E F ?
[AD] ile [OC]’nin kesi¸sim noktası E ve [AD] ile 19 91
[BC]’nin kesi¸sim noktası F’dir. m(EAB) =19 ve A O B
◦
b
m(FEO) =91 ise, m(DFB) kaç derecedir?
◦
b
b
Çözüm : Verilenlerden, (COA)= 72 ◦ ve (CBA)= 36 bulunur. Dolayısıyla,
◦
b
b
(BFD)= 36 +19 =55 elde edilir.
◦
◦
◦
b
D
4. ¸ Sekilde, [AB] çaplı çemberin bu çapını
kesen bir kiri¸si [CD], A ve B’den [CD] kir­ F
i¸sine indirilen dikmelerin ayakları, sırasıyla E ve
F’dir. |AE|=16 , |BF|=14 ve |AB|=34 ise, |FD| A B
kaçtır? E
C