Page 184 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2000 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 183

D Çözüm : [AE’nin çemberi kesti˘ gi di˘ ger nokta G
olsun. EGBF bir dikdörtgendir. AGB dik üç­
F geninden
14
2
2
2
17 O |GB| =34 − 30 =464 ⇒ |GB| =16
A . B
1 4 bulunur. ¸Sekilden, |OH| =1 oldu˘ gu kolayca
H
16 14 görülebilir. |FD| =  denilirse, bu durumda,
E  = |CE| ve OCH dik üçgeninden
14
G
2
2
2
2
C |CH| + |OH| = |OC| ⇒ ( +8) +1 = 17 2
e¸sitli˘ ginden
2
 +16 − 224 = 0
√ ¡ √ ¢
elde edilir. Bu denklemin çözümünden  = −8+ 288 = 4 3 2 − 2 olur.
5. Her n pozitif tamsayısı için n’nin en büyük asal çarpanını A(n) ile gösterelim.
a 1 =68 ve her n ≥ 1 için a +1 = a  +A(a ) ile tanımlanan (a  ) dizisinin

19­uncu terimi kaçtır?
Çözüm : Dizinin tanımından
 1 =68= 4 · 17  ( 1 ) = 17;
 2 =  1 +17 = 5 · 17  ( 2 ) = 17;
 3 =  2 +17 = 6 · 17  ( 3 ) = 17;
. . . . . .
 15 =  14 +17 = 18 · 17  ( 15 ) = 17;
 16 =  15 +17 = 19 · 17  ( 16 ) = 19;
 17 =  16 +19 = 18 · 19  ( 17 ) = 19;
 18 =  17 +19 = 19 · 19 ;  ( 18 )= 19
 19 =  18 +19 = 20 · 19 = 380
olur.

A
6. ¸Sekilde E, çemberin [BD] ve [CA] kiri¸slerinin kesi¸sim noktası
olup, |BA| = |AD|’dir. |AE| =3 ve |EC| =9 ise, |AD| kaçtır? B E D

C
A
4 4
Çözüm : ¸Sekilde ADE ∼ ACD oldu˘ gundan,
B 3 D
|AD| |AE| 2 E
= ⇒ |AD| = |AE||AC| =3 · 12
|AC| |AD| 9
e¸sitli˘ ginden, |AD| =6 bulunur.
C