Page 185 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

184 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

2
7. p +p +11p +2 ifadesinin asal sayı olmasını sa˘ glayan kaç tane p asal sayısı
3
vardır?
2
3
Çözüm :  +  +11 +2 ifadesi
2
i)  =3 için 3 +3 +11 · 3+2 = 71 asaldır.
3
ii)  6=3 için  =3 ± 1 ≥ 1 biçiminde olur.
3
2
 =3 +1 ise,  +  +11 +2 ≡ 1+1+2 + 2 ≡ 0(mod 3)
3
2
 =3 − 1 ise,  +  +11 +2 ≡−1+1 − 2+2 ≡ 0(mod 3)
olaca˘ gından,  6=3 için,  +  +11 +2 sayısı asal olamaz.
3
2
C
8. ¸Sekilde O merkezli çemberin, [BC] kiri¸sinin orta A
noktası D ve bir noktası A’dır. m(DOA) =90 ve D
◦
b
m(BAC) =40 ise, m(ABC) kaç derecedir? B
◦
b
b
O
Çözüm : (ABC)=  (ACB)=  olsun.
b
b
C
D [OD] ⊥ [BC] oldu˘ gundan, (OAB)=  olur.
b
x y
B x ¸ Sekilden izlenirse,
40
x A
 +  = 140  −  =90 ◦
◦
O
oldu˘ gundan  =25 bulunur.
◦
9. Hiç bir basama˘ gında sıfır bulunmayan üç basamaklı tam sayılar içinde, basa­
maklarından biri di˘ ger iki basama˘ gının toplamına e¸sit olan kaç sayı vardır?
Çözüm :  üç basamaklı sayısı problemdeki ko¸sulları sa˘ glasın. A¸sa˘ gıdaki 3 du­
rumdan biri geçerli olacaktır.
1) 1 ≤   ≤ 8 +  = 
2) 1 ≤   ≤ 8 +  = 
3) 1 ≤   ≤ 8 +  = 
Birinci durumda, 2 ≤  ≤ 9 olacak ve her  =2  9 için ’lerin sayısı  − 1;
dolayısıyla, tüm ’lerin sayısı
9 8
X X 8 · 9
( − 1) =  = =36
2
=2 =1
olur. Di˘ ger iki durumdan elde edilecek ’lerin sayısı da aynı olaca˘ gından, ’lerin
toplam sayısı 3 · 36 = 108 bulunur.