Page 188 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2000 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 187


17. Sekildeki i¸saretlenmi¸s noktaların en az dördünden
¸
.  geçen kaç çember vardır?
.
   .  
.


˙
Çözüm : I¸saretlenmi¸s noktalar ¸sekildeki gibi  I
isimlendirilirse, ABFI, BCDE, BIHE ve FIHG
H
dörtlülerinin her biri çemberseldir. Yani 4 . 
tanedir. C D .
A  .   . F  G

B 

E

18. 5, 10, 15, ..., 995, 1000 aritmetik dizisinin tüm terimlerinin çarpımı olan
sayının sondan kaç basama˘ gında sıfır bulunur ?
Çözüm : Tüm terimlerin çarpımı,

 =(5 · 1) · (5 · 2) · (5 · 3) ··· (5 · 200) = 5 200 · (200!) 
dir. ¸Simdi, 200! sayısının içinde kaç tane 2 oldu˘ gu bulunmalıdır.
§ ¥ ¯ ¯ ¦¨ § ¥ ¯ ¯ ¦¨ § ¥ ¯ ¯ ¦¨ § ¥ ¯ ¯ ¦¨
 = ¯ 200 ¯ + ¯ 200 ¯ + ¯ 200 ¯ + ··· + ¯ 200 ¯
2 1 2 2 2 3 2 7
3
e¸sitli˘ ginden  = 100+50+25+12+6+3+1 = 197 bulunur. Yani,  =10 197 ·5 ·
olur. O halde  sayısının sondan 197 basama˘ gı sıfırdır.

19. 318 sayfalık bir kitabın tüm sayfalarındaki sayfa numaraları kesiliyor; sonra
her sayfa numarasının bulundu˘ gu parça, her bir parçada bir rakam bulunacak
¸ sekilde kesilerek küçük parçalara ayrılıp, bu küçük parçalar bir torbaya doldu­
ruluyor ve torbadan rasgele bir parça çekiliyor. Çekilen parçadaki rakamın 1
olma olasılı˘ gı nedir?
Çözüm : Kitabın tüm sayfalarındaki sayfa numaralarındaki rakamların sayısı; birler
basama˘ gındakiler 318 onlar basama˘ gındakiler 318 − 9 = 309 ve yüzler basama˘ gın­
dakiler 318 − 99 = 219 olmak üzere toplam 846 tanedir. Bu rakamlar arasında
1’lerin sayısı, birler basama˘ gında 32, onlar basama˘ gında 39 ve yüzler basama˘ gında
100 olmak üzere, toplam 171 tanedir. Böylece, çekilen rakamın 1 olma olasılı˘ gı
171 19
=
846 94
bulunur.