Page 186 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 186
2000 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 185
10. n kenarlı bir düzgün (dı¸s bükey) çokgenin bir iç açısının 3 katı, m kenarlı
bir düzgün (dı¸s bükey) çokgenin bir iç açısının 4 katına e¸sit ise, (m + n) sayısı
49,25,24,15 ve 10 sayılarından hangisi olamaz?
µ ¶
360
Çözüm : kenarlı düzgün (dı¸sbükey) çokgenin bir iç açısı 180 − derecedir.
Böylece,
µ ¶ µ ¶
360 360
3 180 − =4 · 180 −
8 6
olur. Bu denklemin sadele¸stirilmesiyle − =1 ya da
6 − (48 − 6)+48 48
= = = −6+
8 − 8 − 8 −
elde edilir. Buradan, istenen ( ) ikililerinin ( ≥ 3 oldu˘ gu da gözönüne
alınırsa) (6 4) (10 5) (18 6) ve (42 7) oldu˘ gu görülür. Yani, ( + ) sayısı, 10,
15, 24 ve 49 olabilir.
11. 8 ¸seker kutusunun her birinde farklı sayıda ¸seker bulunmaktadır. Bu kutu
lardan rasgele biri bo¸saltılıp di˘ ger kutulara uygun biçimde da˘ gıtılınca, di˘ ger 7
kutunun her birindeki ¸seker sayısı aynı oluyor. Ba¸slangıçta en çok ¸seker bulunan
kutuda en az kaç ¸seker olabilir?
Çözüm : Kutulardaki ¸seker sayısı, sırasıyla 1 2 3 4 5 6
7 8 olsun. Birinci kutudaki ¸sekerler bo¸saltılıp di˘ gerlerine payla¸stırılarak di˘ ger 7
kutudaki ¸sekerlerin sayısı e¸sitlenirken,
7 nolu kutuya en az 1 ¸seker;
6 nolu kutuya en az 2 ¸seker;
2 nolu kutuya en az 6 ¸seker
ilave edilmesi gerekti˘ ginden, 1 ≥ 1+2 + 3 + 4+5+6 = 21’dir. Dolayısıyla,
8 ≥ 28 olur. 8 =28 için 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 ¸seklinde bir da˘ gılım vardır.
12. (x 1 +x 2 + ·· · + x 19 +x 20 ) ifadesinin açılımında benzer terimler top
3
landıktan sonra ortaya çıkan ifade kaç terimlidir? (Örnek : (a + b) 3 = a 3
2
+3a b +3ab +b ifadesi dört terimlidir.)
3
2
Çözüm : ( 1 + 2 + ·· · + 19 + 20 ) ifadesi açılıp benzer terimler toplandıktan
3
sonra,
3
(1 ≤ ≤ ) biçiminde 20 tane terim;
(1 ≤ ≤ 6= ) biçiminde 19 · 20 = 380 tane terim;
2
20
(1 ≤ ≤ farklı) biçiminde ¡ ¢ = 1140 tane terim
3
ortaya çıkar. Dolayısıyla, söz konusu ifade, 20 + 380 + 1140 = 1540 terimlidir.
