Page 187 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

186 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

13. Saf asitle dolu olan 54 litrelik bir kaptan bir miktar asit alınıp yerine aynı
miktarda su konuyor. Sonra, bu kaptaki karı¸sımdan, ilk alınan miktarda karı¸sım
alınıp, yerine su konuyor. Bu i¸slem tamamlandıktan sonra, kaptaki karı¸sımın 24
litresi saf asit oldu˘ guna göre, birinci defada kaptan kaç litre asit alınmı¸stır?
˙
Çözüm : Ilk alınan asit miktarı  litre olsun. Bu durumda,
54 − 
(54 − ) −  · =24
54
olur. Bu denklem düzenlenirse
2
 − 108 + 1620 = 0
elde edilir. Bu denklemin çözümünden  =18 veya  =90 elde edilir.  ≤ 54
oldu˘ gundan cevap 18 olarak bulunur.

14. Bir f fonksiyonu her a ve b reel sayıları için
f(a + b)= f(ab) ve f(1999) = 1999
ko¸sullarını sa˘ glamaktadır. Buna göre, f(1000) kaçtır?
Çözüm : ( + )= () e¸sitli˘ ginde,  =0 alınırsa, her  reel sayısı için
 ()=  (0)
elde edilir. O halde
 (1000) =  (0) =  (1999) = 1999
e¸sitli˘ ginden  (1000) = 1999 bulunur.
˙
15. Içinde 13 kırmızı ve 8 mavi top bulunan bir torbadan rasgele bir miktar top
çekiliyor. Çekilen topların en az 6’sının kırmızı ve en az 4’ünün mavi olmasını
garanti etmek için en az kaç top çekilmelidir?
Çözüm : En kötü durum, çekilen toplardan ilk 13 tanesinin kırmızı olmasıdır. 4 tane
mavi top çekilmesini garanti etmek için en az 13 + 4 = 17 top çekilmelidir.

16. Sekilde, O merkezli çemberin D nok­ D
¸
tasındaki te˘ geti ile [BC] kiri¸sinin uzantısının a
kesi¸sim noktası A’dır. |AD| = |BC| = a a C
2
ve |AB| = b ise, (2b + a) nin a cinsinden A b B  O
de˘ geri nedir?

Çözüm : Kuvvet kuralından,  =  ( + )=  +  olur. Böylece,
2
2
2
2
(2 + ) =4 +4 +  2
¡ 2 ¢ 2 2 2 2
=4  +  +  =4 +  =5
bulunur.