Page 190 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2000 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 189

3. m ve n sayıları 2520 sayısının pozitif bölenleri olmak üzere, (m, n) ikililerini
dü¸sününüz. Bu ikililerden kaç tanesi için n sayısı m’yi tam böler?


3
2






Çözüm : 2520 = 2 · 3 · 5 · 7;  =2 · 3 · 5 · 7 ve  =2 · 3 · 5 · 7 olsun.
 |  olması için
3 ≥  ≥  ≥ 0 2 ≥  ≥  ≥ 0 1 ≥  ≥  ≥ 0 1 ≥  ≥  ≥ 0
ko¸sullarının sa˘ glanması gerekir. Bu ko¸sulları sa˘ glayan tam 10 tane ( ) ikilisi, tam
6tane ( ) ikilisi, tam 3 tane ( ) ikilisi ve 3 tane ( ) ikilisi vardır. Dolayısıyla,
 |  olacak ¸sekilde 10 · 6 · 3 · 3 = 540 tane ( ) ikilisi vardır.
1
4. a 1 =1 ve her n ≥ 1 için a +1 = (1+2a 1 +3a 2 + ··· + (n +1) a  )
n
ile tanımlanan dizinin 2000’inci terimi nedir?
1 1
Çözüm :  1 =1 2 = (1 + 2) = 3 3 = (1 +2+9) = 6’dır.  2 için
2 2
1
= (1 + 2 1 + ··· +  −1 +( +1)   )
 +1

1
= (( − 1)   +( +1)   )

1
= (2  )= 2 

olur. Dolayısıyla,  2 için,  +1 =2 −1 ·  2 =3 · 2 −1 ve buradan da  2000 =
3 · 2 1998 elde edilir.
√ √ √
5. x + y = 2000 denkleminin tamsayılar kümesinde kaç çözümü vardır?
√ √ √ √
Çözüm :  +  = 2000 = 20 5 e¸sitli˘ ginden
√
 =  − 40 5 + 2000
2
2
olur.  ∈ Z olaca˘ gından,  =5  ≥ 0 olmalıdır. Benzer ¸sekilde,  =5  ≥ 0
olmalıdır. Bu de˘ gerler denklemde yerle¸stirilirse,
√ √ √
 5+  5=20 5
yani + =20 elde edilir. son denklemin tam 21 tane ( ) çözümü vardır. Dolayısıyla,
verilen denklemin 21 tane tamsayı çözümü vardır.
6. 8 ¸seker kutusunun her birinde farklı sayıda ¸seker bulunmaktadır. Bu kutu­
lardan rasgele biri bo¸saltılıp di˘ ger kutulara uygun biçimde da˘ gıtılınca, di˘ ger 7
kutunun her birindeki ¸seker sayısı aynı oluyor. Ba¸slangıçta en çok ¸seker bulunan
kutuda en az kaç ¸seker olabilir?
Çözüm : Lise 1, Soru 11’in çözümüne bakınız.