Page 212 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2003 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

˙
1. Matematik Olimpiyatlarına hazırlanan Ilke ¸söyle bir program uyguluyor: Her
˙
gün en fazla 10 problem çözebilen Ilke, 7’den fazla problem çözdü˘ gü günden
hemen sonraki iki günde en fazla 5’er problem çözüyor. Bu programı titizlikle
˙
uygulayan Ilke, 29 günde en fazla kaç problem çözebilir?
˙
Çözüm : Ilke, 10 problem çözdü˘ gü günün hemen arkasından gelen iki günde 5’er
problem çözece˘ ginden, bu üç gün içinde 10 +5+5 = 20 problem çözecektir. Oysa,
her gün 7’¸ser problem çözerek, 3 gün içinde 7+ 7+ 7 = 21  20 problem çözebilir.
˙
Böylece, daha çok problem çözmek için Ilke, 29 günün 28’inde 7’¸ser problem ve
sonuncu günde 10 problem çözerek, toplam 7 · 28 + 10 = 196 + 10 = 206 problem
çözebilir.
⎧ x
⎪ x+ +y =8
⎨ y
2. x ve y reel sayıları denklemler sistemini sa˘ glıyorsa, x + y
⎪ x + y
⎩ x· =15
y
toplamının alabilece˘ gi en küçük de˘ ger nedir?
 ⎫
 + +  =8 ⎪
 ⎬ 
Çözüm : denklem sisteminde,  +  =  ve =  denilirse,
 +  
⎪
 · =15 ⎭

¾
 +  =8
 ·  =15
denklem sistemi elde edilir. Buradan,
2
(8 − )= 15 ⇒  − 8 +15 = 0 ⇒  1 =3,  2 =5
elde edilir. Böylece,  + ’nin alabilece˘ gi en küçük de˘ ger 3 olur.

3. ¸ Sekilde E, A ve B noktaları do˘ grusal olup, D
|AB| = |AC|, |DA| = |DC| ve m(EAC) +m
b
B
((ADC) =220 dir. Bu durumda DCB açısı kaç A
◦
b
b
derecedir? E
Çözüm : (DCB)= , (CDA)=  ve (CAE)=  C
b
b
b
olsun. Bu durumda, (BAC) = 180 − ’dir.
◦
b

ABC üçgeni ikizkenar oldu˘ gundan, (ACB)= (ABC)= ve ADC üçgeni
b
b
2
ikizkenar oldu˘ gundan,
1
◦
(DAC)= (ACD)= (180 − )
b
b
2
olur.