Page 213 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 213
212 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
Buradan,
1
= (AC) − (ACD)= − (180 − )
◦
b
b
2 2
+
= − 90 ◦
2
220 ◦
◦
= − 90 =20 ◦
2
bulunur.
4. a do˘ gal sayısı 4 ayrı asal sayının çarpımının karesi olsun. k ve n, a’nın k|n
ko¸sulunu sa˘ glayan pozitif bölenleri olmak üzere, (k, n) ikilileri kaç tanedir? (1
ve a sayıları da a’nın bölenleridir; k|n gösterimi "k, n’yi böler" anlamındadır.)
2
Çözüm : 1 2 3 4 farklı asallar olmak üzere, = · · · olsun. O halde,
2
2
2
1
4
2
3
’nın tüm pozitif bölenleri
, ( =0 1 2)
1 2 3 4
1 2 3 4
biçimindedir. ¸Simdi, ve ’nın, ’nın problemde verilen ko¸sulları sa˘ glayan pozitif
bölenleri olması için gerek ve yeter ko¸sul,
1 2 3 4
1 2 3 4
= ve =
1 2 3 4 1 2 3 4
biçiminde olup, 0 ≤ ≤ ≤ 2, ( =1 2 3 4) sa˘ glanmasıdır. Her =1 2 3 4
için sonuncu ko¸sulu sa˘ glayan ( ) ikilileri sayısı 6’dır:
(2 2), (2 1), (2 0), (1 1), (1 0), (0 0).
4
O halde istenen ko¸sulu sa˘ glayan ( ) ikilileri sayısı 6 · 6 · 6 · 6=6 olur.
5. {1, 2, 3, 4, ..., 20, 21, 22} kümesinden en az kaç eleman atılmalı ki, geriye
kalan sayıların çarpımı bir tamkare olsun?
Çözüm :
3
4
2
1 · 2 · 3 ·· · 21 · 22 = 22! = 2 11+5+2+1 · 3 7+2 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19
2
3
4
9
=2 19 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19
Buradan kolayca görülebilece˘ gi gibi, 13, 17, 19 dı¸sında 6 ve 7,veya 2 ve 21,veya 3
ve 14 sayıları silinirse, geriye kalan çarpım tam kare olur.
Not : asal olmak üzere, != · e¸sitli˘ gini sa˘ glayan en büyük ’yı bulmak için
§¥ ¯ ¯ ¦¨
iyi bilinen = db||ce + 2¯ + ·· · formülü kullanılmı¸stır.
¯
6. x + y + z ≤ a e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan her pozitif gerçel x, y, z sayıları için
xyz ≤ a e¸sitsizli˘ gi de sa˘ glanıyorsa, a gerçel sayısına bir "iyi sayı" diyelim. En
büyük "iyi sayının" karesi kaçtır?
Çözüm : + + ≤ olsun. AGO (Aritmetik Geometrik Ortalamalar) e¸sitsizli
˘ ginden
+ + 3 3
≤ ( ) ≤
3 27
bulunur.
