Page 214 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2003 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 213

 3 √
Buradan, ≤  yani,  ≤ 3 3 olursa,  iyisayıolur. Di˘ ger taraftan, bir  sayısı
27
√ 
 3 3 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glarsa, iyi sayı olamaz. Çünkü,  =  =  = için,
3
 +  +  =  olmasına kar¸sın,
 3  2
 = =  · 
27 27
√
olur. Yani, en büyük iyi sayı 3 3’tür.



7. y ≤ z olmak üzere, x +x = x 111 denkleminin pozitif tamsayılarda çözü­
münün var oldu˘ gu biliniyorsa, a¸sa˘ gıdakilerden hangisi sa˘ glanmalıdır?
A)  +  = 111 B) 111 =  +1 C)  ≥ 111 D)  bir tek sayıdır E) Hiçbiri



Çözüm :  +  =  111 denkleminin her iki tarafı  ile bölünürse,
¡ ¢
1+  − =  111− ⇔  −  111− − 1 =1
elde edilir. Buradan,  =  ve  111− =2 denklemlerinden  =2 ve 111 −  =1
olur.

√
8. ¸Sekildeki küçük çemberin yarıçapı 5, büyük çem­
berin yarıçapı da √ 10’dur. Küçük çember, büyük çem­
berin merkezinden geçiyorsa, taralı bölgenin alanı nedir?

Çözüm : Çemberlerin kesi¸sim noktalarına  ve ;
A küçük çemberin merkezine  ve büyük çemberinkine
de  diyelim.
N · M · β α || = || = || = √ 5; √
√
√
√
2
2
|| = || = 10 ve ( 5) +( 5) =( 10) 2
B e¸sitliklerinden
()= ()= 90 ◦
c
c
olur. O halde, [] küçük çemberin çapıdır. Buradan,
()= () − ()
√ √ √
2
1
2
1
2
1
= ( 5) − [ ( 10) − ( 10) ]
2 4 2
1
1
1
= 5 − 10 + 10 = 5
2 4 2
sonucu elde edilir.