Page 215 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

214 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

9. ¸ Sekilde , 3 satırı ve 20 sütunu olan
bir tablonun bir parçası gösterilmi¸stir. I. x
satırda 1’den 20’ye kadar, II. satırda 21’den y
40’a kadar ve III. satırda da 41’den 60’a z
kadar do˘ gal sayılar sırayla yazılmı¸stır. ¸Sek­
ilde gördü˘ günüz   ve  sayılarının üçü de Ay¸se’nin ya¸sına bölünüyorsa,
Ay¸se’nin ya¸sı 4,5,6,7, 10’dan hangisi olabilir?
Çözüm : ¸Sekile göre,
 =  +18 ve  =  +24;
,  ve  Ay¸se’nin ya¸sına bölündü˘ günden,
 −  =18 ve  −  =24
sayıları da Ay¸senin ya¸sına bölünmelidir. Demek ki, Ay¸se’nin ya¸sı OBEB(18 24) = 6
sayısını bölmelidir.

10. p(x) ve q(x),ba¸skatsayıları 2003 olan 2. dereceden farklı iki polinomdur.
p(3) + p(5) + p(10) = q(3) + q(5) + q(10)
ise, p(x)= q(x) e¸sitli˘ gini sa˘ glayan x sayısı kaçtır?
Çözüm : () = 2003 +  1  +  1 ve () = 2003 +  2  +  2 olsun.
2
2
()= () ⇔ ( 1 −  2 ) +( 1 −  2 )= 0
 1 −  2
Polinomlar farklı oldu˘ gu için  1 6=  2 ve dolayısıyla,  = − olur. Di˘ ger
 1 −  2
yandan, (3) + (5) + (10) = (3) + (5) + (10) e¸sitli˘ ginden
18
 1 −  2
(3 +5+10)( 1 −  2 )+ 3( 1 −  2 )= 0=⇒− = =6
 1 −  2 3
bulunur.

11. 1+3+5+ ··· +97+99 ifadesinde en az kaç "+" i¸sareti "−"i¸sareti ile
de˘ gi¸stirilmelidir ki, sonuç 700’e e¸sit olsun?
Çözüm : 1+ 3+5+ ··· +97+99 = 50 = 2500 toplamında, bazı "+"i¸saretlerinin
2
"−"i¸sareti ile de˘ gi¸stirildikten sonra ortaya çıkan yeni ifadede pozitiflerin toplamına 
diyelim. Bu durumda,
 − (2500 − ) = 700 ⇒ 2 = 3200 ⇒  = 1600
olur. En az "−"i¸sareti kullanmak için, en küçük sayıların önündeki "+"i¸saretleri
kalmalıdır.
2
1600 = 40 = 1 +3+5+ ·· · +77+79
oldu˘ guna göre, geriye kalan 81 83  97 99 (toplam 10 sayı) sayılarının önüne "−"
i¸sareti konulmalıdır.