Page 216 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2003 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 215

12. Kenar uzunlukları, |AB|=3, |BC| =4 ve |AC| =5 olan ABC üçgeninin
[BC] kenarı üzerinde M ve [AC] kenarı üzerinde N noktaları alınmı¸stır. [MN]
parçası ABC üçgeninin alanını yarıya bölüyorsa, [MN] parçasının uzunlu˘ gu en
az kaç olabilir?
Çözüm : ABC üçgeni dik üçgendir ve
A
4
(ABC)=6’dır. |NC| = , |MC| =  ve
∧
(ACB)=  olsun. Bu durumda varsayım­ N
dan, x
1  sin  =3 ⇒  sin  =6
2 α C
|AB| 3 B M y
olur. sin  = = oldu˘ gundan,
|BC| 5
 =10 olur. Öte yandan, kosinüs teoremi kullanılarak,
2 2 2
|MN| =  +  − 2 cos 
2 2 4 2 2
=  +  − 2 · 10 · =  +  − 16
5
2
elde edilir.  +  ≥ 2 =20 oldu˘ gundan,
2
√
2
|MN| ≥ 20 − 16 = 4 ⇒ |MN| ≥ 4=2
√
olur. Burada e¸sitlik durumu,  =  = 10 için elde edilir.
xz + zy
13. x> 0, y> 0, z> 0 olmak üzere, ifadesinin alabilece˘ gi en
2
2
x +y +18z 2
büyük de˘ ger nedir?
Çözüm : Paydadaki ifadenin en küçük de˘ geri (AGO’dan)
√ p
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
 +18 +  =( +9 )+(9 +  ) ≥ 2 9  +2 9  =6( + )
olur. Buradan da,
 +  1
≤
2
 +  +18 2 6
2
˙
oldu˘ gu görülür. Ifade, 16 de˘ gerini, örne˘ gin,  =  =3 ve  =1 için alır. Sonuç
olarak, verilen ifadenin alabilece˘ gi en büyük de˘ ger, 16’dır.
14. n +1 ve 16n +1 ifadelerinin ikisini de tamkare yapan n ≥ 1 tamsayılarının
sayısı kaçtır?
Çözüm :  +1 =  ve 16 +1 =  olsun. Birinci e¸sitlik 16 ile çarpılıp, ikincisi
2
2
çıkarılırsa,
2
2
16 −  =15 ⇒ (4 − )(4 + )= 15
e¸sitli˘ ginden {4 −  =3 ve 4 +  =5} veya {4 −  =1 ve 4 +  =15}
olur. Buradan  =2 olur. Buna ba˘ glı olarak da  =3 bulunur.