Page 217 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

216 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

15. a 1 =1 ve p bir asal sayı olmak üzere, her n ≥ 2 için a  dizisi
a  = a −1 +p −1
¸ seklinde tanımlansın. a 2003 −a 1998 sayısının bir tamkare olması için p kaç ol­
malıdır?
Çözüm :
 1999 =  1998 +  1998
 2000 =  1999 +  1999
 2001 =  2000 +  2000
 2002 =  2001 +  2001
 2003 =  2002 +  2002
e¸sitlikleri taraf tarafa toplanırsa,
2
4
3
 2003 −  1998 =  1998 (1 +  +  +  +  )
olur.  2003 −  1998 ifadesinin tam kare olması için, gerek ve yeter ko¸sul,
3
2
1+  +  +  +  4
sayısının bir tam kare olmasıdır. ¸Sıklar kullanılarak,  =3 için bu ifadenin bir tam
kare oldu˘ gu görülür.
Not :  6=3 için ifade tam kare de˘ gildir. Çünkü,
2
3
4
2
2
2
(2 + )  4(1 +  +  +  +  )  (2 +  +2) 2
e¸sitsizliklerinden görülebilece˘ gi gibi, ortadaki ifadenin bir tam kare olması için gerek
ve yeter ko¸sul,
3
2
2
4
4(1 +  +  +  +  )= (2 +  +1) 2
olmasıdır. Buradan,  − 2 − 3=0 ⇒  =3 sonucu çıkar.
2
3n+11+13 3n+12+14 3n+13+15 3n+54+56 3n+55+57
16. , , ,··· , ,
11 12 13 54 55
kesirlerinin hiçbiri sadele¸smeyecek biçimde alınmı¸s n do˘ gal sayılarının en küçü­
˘ günün rakamlar toplamı kaçtır?
Çözüm :
3 +  +( +2) 3 +2
= +2, ( =11 12  54 55)
 
oldu˘ gundan, öncelikle 11 12  55 sayılarının her biri ile aralarında asal olan, en
küçük 3 +2 sayısını bulmalıyız. Dolayısıyla, 2 3 5  53 asallarına bölünmeyen
ve 3 modunda 2’ye e¸sit olan en küçük sayıyı bulmalıyız. 53’ten büyük, bu ko¸sullara
uyan en küçük asal sayı, 59’dur. Böylece,
3 +2 = 59 ⇒  =19
olur. 19’un rakamlar toplamı da 10’dur.