Page 218 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2003 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 217

2
17. 2002 ≤ n ≤ 2003 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan kaç tane n do˘ gal sayısı için §¥ ¯√ ¯ ¦¨
2
n
¯
¯
sayısı n’yi böler? (Burada, db||ce tamde˘ ger fonksiyonudur.)
Çözüm : [2002  2003 ] aralı˘ gından alınan 4 tane
2
2
2
2
2
2
2
 = 2002  2002 + 2002  2002 +2 · 2002  2003 2
√ 2 2
sayıları için db| |ce sayısı, ’yi böler. 2002 ≤  2003 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan her 
için,
√ √
2
db| |ce = 2002 ve  = 2003 için db| |ce = 2003
oldu˘ gundan, verilen aralıkta istenilen özelli˘ ge sahip ba¸ska sayı yoktur.
18. ABC dik üçgeninin [AB] ve [BC] dik kenarları üzerinde D ve E noktaları,
√
m(BAE) =30 ve m(BDC) =45 olacak biçimde alınmı¸stır. |AE| = 3
◦
◦
b
b
√
ve |CD| = 2 ise, [AE] ve [CD]’nin kesi¸sim noktası ile [AB] parçası arasındaki
uzaklı˘ gı bulunuz.
Çözüm : [AE] ve [DC]’nin
C
kesi¸sim noktasına F diyelim.
FG ⊥ AB ve FH ⊥ CB
E
F y olacak biçimde [AB] ve [BC]
1­x H üzerinde G ve H noktaları
alalım.
x x
|FG| =  ve |EH| =  olsun.
b
b
30 o 45 o (HFE) = (GAE) = 30 ◦
A D G B oldu˘ gundan,
√
 +  = |FG| + |HE| = |AF| + |FE| = 3
2 2 2
√
olur. Öte yandan, (BDC) = 45 ve |CD| = 2 oldu˘ gundan, |DB| =1’dir.
◦
b
Demek ki
|GB| =1 − |DG| =1 − 
ve dolayısıyla, |FH| =1 −  olur. EFH üçgeninde kolayca görülebilece˘ gi gibi,
|EH|
= tan 30 ◦
|FH|
 1 √
yani, = √ olur ki, buradan da  + 3 =1 elde edilir. Böylece,
1 −  3
√
3 √
 +  = ve  + 3 =1
2
1
denklemlerinden  = √ bulunur.
2( 3 − 1)