Page 219 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

218 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

17x − 5 14x +5
19. ve sayılarının ikisi de tamsayı olacak biçimde kaç tane x
6 9
tamsayısı vardır?
17 − 5 14 +5
Çözüm : I. Yol : =  ve =  (  ∈ Z) olsun. Buradan,
6 9
6 +5 9 − 5
 = = ⇒ 84 + 70 = 153 − 85 ⇒ 153 − 84 = 155
17 14
bulunur. Son e¸sitli˘ gin sol tarafı 3’e bölünür ancak, sa˘ g tarafı bölünmez. Sonuç olarak,
problemin ko¸sullarını sa˘ glayan  tamsayısı yoktur.
17 − 5  − 1 14 +5  +1
II. Yol : =2 +5 · ve =  +5 e¸sitliklerinden,
6 6 9 9
  ∈ Z için,  − 1=6 ve  +1 = 9 çıkar, Buradan da 9 − 6 =2 e¸sitli˘ gi
elde edilir. Son e¸sitli˘ gin sol tarafı 3’e bölünür, fakat sa˘ g tarafı bölünmez.

20. ¸Sekilde, m(ABC) =80 , m(ACB) =55 ◦
◦
b
b
ve |BC| = 3’tür. D, [AB]’nin ve E de [AC]’nin orta M A N
noktaları olmak üzere,
[MD] ⊥ [AB], [MB] ⊥ [BC], D E
[NE] ⊥ [AC], [NC] ⊥ [BC]
B C
ise |MB|·|NC| çarpımı kaçtır?

Çözüm : (DMB) = (ABC) = 80 ve (ENC) =
◦
b
b
b
(ACB) = 55 dir. BMD ve CNE dik üçgenlerinden, A N
◦
b
M
|MB| = |AB| ve |NC| = |AC|
2sin 80 ◦ 2sin 55 ◦ D E
80 55
|AB||AC|
bulunur. Buradan, |MB|·|NC| = B C
4sin 80 sin 55 ◦
◦
çıkar. Di˘ ger taraftan, Sinüs teoreminden,
|AB| |BC| |AC|
= =
sin 55 ◦ sin 45 ◦ sin 80 ◦
oldu˘ gundan,
2
|MB|·|NC| = |BC| = 9 =4 5
2
4sin 45 2
bulunur.
Not : Aslında burada, problemin sonucunun yalnızca |BC| uzunlu˘ gu ve BAC açısına
b
ba˘ glı oldu˘ gu görülmektedir. Yani, ABC ve ACB açıları yerine, onların toplamının
b
b
verilmesi yeterli olur.