Page 220 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2004 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

1 1
1. a, b ve c sayıları x −x − 1= 0 denkleminin kökleri ise, + +
3
1+ a 1+ b
1
toplamı kaçtır?
1+ c
Çözüm :   ve  sayıları ()=  −  − 1 polinomunun kökleri oldu˘ gundan,
3
 +1 +1 ve  +1 sayıları da
3
2
3
( − 1) = ( − 1) − ( − 1) − 1=  − 3 +2 − 1
polinomunun kökleridir. O halde
1 1 1
, ve
 +1  +1  +1
2
3
3
2
sayıları da 1 − 3 +2 −  =0 denklemini, yani  − 2 +3 − 1=0
denklemini sa˘ glarlar. Vieta teoreminden,
1 1 1
+ + = − (−2) = 2
 +1  +1  +1
bulunur.
2. x 1 ve x 2 sayıları §¥ ¯ ¯ 2¯ ¯ ¦¨ = db|6 − x|ce − {x − 111} denkleminin kökleri ise,
x
3
x +x sayısı kaçtır?
3
1 2
§¥ ¯ ¯ ¦¨
Çözüm : { − 111} = db|6 − |ce −  e¸sitli˘ ginden { − 111} ‘in tamsayı olması,
¯ 2¯
yani sıfır olması gerekti˘ gi çıkar. Bu durumda −111 ve dolayısıyla da  tamsayıdır.
2
Buna göre denklem,  +  − 6=0 ¸seklinde yazılabilir. Buradan  1 = −3 ve
 2 =2 olur. O halde,
3
3
 +  = −27 + 8 = −19
1 2
bulunur.
3. ABC üçgeninde, A ve B açılarının açıortayları [AN] ve [BM]’nin kesi¸sim
b
b
noktası O olsun. OMCN dörtgeni kiri¸sler dörtgeni oldu˘ guna göre, BMNaçısı
b
kaç derecedir?
Çözüm : C açısı  derece olsun. ¸Sekilden,
B
 +2 ( + ) = 180 ◦ * *
olur. O, M, C ve N noktaları çember üzerinde β β N
oldu˘ gundan,
O
(180 − ( + )) +  = (AOB)+  α
◦
b
o α x
= (NOM)+  = 180 ◦ A o C
b
M
bulunur. Bu iki e¸sitlikten  =60 elde edilir. O halde, aynı yayı gördüklerinden ve
◦

[OC], C açısının açıortayı oldu˘ gundan (BMN)= (OCN)= =30 bulunur.
◦
b
b
2