Page 221 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

220 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

2
2
3
4. m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere, (m + n) =(m +n)(m + n )
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç tane (m, n) ikilisi vardır?
2
2
3
Çözüm : ( + ) =( + )( +  ) denkleminden
2
2 2
2
3  +3 =   + 
çıkar. Bu denklem, 3 ( + )=  ( +1) ¸seklinde yazılırsa,  6=0
oldu˘ gundan 3( + )=  +1,yani ( − 3) ( − 3) = 8 olur. Buradan,
 için
{ − 3= 1 − 3=8} ve { − 3=2 − 3=4}
olaca˘ gından, ( )=(4 11) veya ( )= (5 7) elde edilir. Denklem simetrik
oldu˘ gundan, (11 4) ve (7 5) de birer çözümdür. Dolayısıyla, denklemi sa˘ glayan 4
tane ( ) ikilisi vardır.
60
5. 60 ’nin böleni olup, 50 ’ın böleni olmayan pozitif sayıların sayısı n olsun.
50
n sayısının 50 ile bölümünden kalan nedir?
¡
2
Çözüm : 60 50 = 2 · 3 · 5 ¢ 50 =2 100 · 3 50 · 5 50 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı
2
101 · 51 · 51 = 101 · 51 dir. Bu sayıdan 60 50 ve 50 60 sayılarının ortak pozitif
¡ 2 ¢ 60 60 120
60
bölenlerinin sayısı çıkarılırsa  sayısı elde edilir. 50 = 2 · 5 =2 · 5
oldu˘ gundan dolayı,
¡ ¢
50
 60  50 60 =2 60 · 5 50
bulunur. Buradan, 60 50 ve 50 60 sayılarının pozitif bölenleri sayısının 61 · 51 oldu˘ gu
2
görülür. O halde,  = 101 · 51 − 61 · 51 bulunur. Böylece,  sayısının 50 ile
bölümünden kalan, (1 − 11) = −10 = 40 (mod 50) olur.
6. 3 × 3 karelik bir tahtanın her karesine bir tamsayı yazılıyor. E˘ gerher satırve
her sütundaki sayıların çarpımı 7 veya (−7)’ye e¸sitse, böyle yazılı¸sa "iyi yazılı¸s"
diyelim. Kaç farklı "iyi yazılı¸s" vardır?
Çözüm : Her satırda ve her sütunda bir tane 7 veya (­7) olmalı ve bo¸s kalan karelere
1 veya (­1) yazılmalıdır. 7 sayısını tahtaya 3! ¸sekilde yerle¸stirebiliriz. Kalan bo¸s
karelere de 1 yazarız. Bunun yanında, dokuz karenin her birindeki sayıların eksi ya
da artı olması durumunu gözönüne alacak olursak, bu, 2 farklı yazılı¸s verir. Sonuç
9
olarak, "iyi yazılı¸sların" toplam sayısı; 2 · 3! = 3072 olur.
9
7. ¸ Sekildeki ABC e¸skenar üç­
geni, dik prizma ¸seklindeki köpek C
kulübesinin üstten görünü¸südür.
DA ve B noktaları do˘ grusal olup,
AD ipinin uzunlu˘ gu 9 metre ve D 9 A 1 B
ABC’nin bir kenar uzunlu˘ gu 1 metredir. D noktasında AD ipine ba˘ glanmı¸sbir
˙
köpek saat yönünde ko¸smaya ba¸slıyor. Ip, her anda gergin olmak ko¸suluyla,
kulübeye tamamen dolandı˘ gında, köpek toplam kaç metre ko¸smu¸solur?