Page 222 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2004 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 221

Çözüm : Köpek, 9,8,7,...,2,1 yarıçaplı çemberlerin 120 ’lik yayları kadar, yani uygun
◦
1
çember uzunlu˘ gunun ’ü kadar yol gitti˘ ginden, toplam yol uzunlu˘ gu,
3
(9 +8+7+ ·· · +2+1)
2 =30 (metre)
3
olarak bulunur.

8. Düzlemde 10 tane nokta verilmi¸stir. Kö¸seleri bu noktalarda olan üçgenlerin
sayısı 118 oldu˘ guna göre, bu noktaların en az ikisinden geçen do˘ gru sayısı kaçtır?
Çözüm : Bu 10 nokta içinde do˘ grusal olan 3 nokta bulunmasaydı, çizilebilecek üçgen
sayısı
µ ¶
10
= 120
3
ve çizilebilecek do˘ gru sayısı
µ ¶
10
=45
2
tane olurdu. Fakat, verilen sayı 118 oldu˘ gundan dolayı, iki tane nokta üçlüsü üçgen
˙
belirtmez. Yani, iki üçlünün her ikisi de do˘ grusaldır. Iki tane üçlü do˘ grusal oldu˘ guna
göre, bu üçlülerden geçen do˘ grular birer tanedir. Buna göre, 45’ten fazla saymı¸s
oldu˘ gumuz do˘ gruların sayısını, yani, 2+2 = 4’ü çıkarırsak istenen do˘ gru sayısını
elde ederiz.

1
9. f(x)= p p p olmak üzere,
2
2
3 (x +1) + 3 (x −1) + 3 (x − 1) 2
f(1) + f(2) + ··· + f(124) + f(125) = A
denirse, 2A − 4 sayısı kaçtır?
1
Çözüm : ()= p p p fonksiyonu, paydadaki
2
2
3 ( +1) + 3 ( − 1) + 3 ( − 1) 2
√ √
ifadenin e¸sleni˘ gi ile, yani, 3  +1 − 3  − 1 ile çarpılırsa,
√ √
3 3
 +1 −  − 1 1 ¡√ √ ¢
3
3
 ()= ¡√ ¢ 3 ¡√ ¢ 3 =  +1 −  − 1
3 3 2
 +1 −  − 1
bulunur. O halde,
 =  (1) +  (2) + ·· · +  (125)
1 ¡√ √ √ √ √ √ √ √ ¢
= 3 2 − 3 0+ 3 3 − 3 1+ 3 4 − 3 2+ ·· · + 3 126 − 3 124
2
1 £√ √ √ ¤ 1 £ √ ¤
olur. Bu e¸sitlik sadele¸stirildi˘ ginde,  = 3 125 + 3 126 − 3 1 = 4+ 3 126
√ 2 2
bulunur. Böylece, 2 − 4= 3 126 elde edilir.