Page 223 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 223
222 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
10. f ve g fonksiyonları, her x, y ∈ R için
√ √ p √
2
2f(x)+ g(x)+3f( y) − g( y )= 3 y +3 3 x
3
3
e¸sitli˘ gini sa˘ glamaktadır. f(8) kaçtır?
√ √ p √ 3
2
Çözüm : 2()+ ()+3( ) − ( )= 3 +3 e¸sitli˘ ginde, =
3
3
3
√
2
yazılırsa, 5 ()= +3 olur. Buradan, (8) = 14 bulunur.
3
11. x +5x − 3= 0 denkleminin 7 tane kökü oldu˘ guna göre, bu köklerin 7.
7
kuvvetlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm : +5 − 3=0 denkleminin kökleri, 1 2 7 olsun. Bu kökler
7
denklemde yerine yazılıp, taraf tarafa toplanırsa,
7
7
7
+ + ··· + = −5( 1 + 2 + ·· · + 7 )+3 · 7
1
2
1
bulunur. Vieta teoreminden, 1 + 2 + ·· · + 7 =0 oldu˘ gundan,
7
7
7
+ + ··· + =21
1
2
1
elde edilir.
12. N = {1, 2, 3, ...} do˘ gal sayılar kümesi olmak üzere, f : N → N fonksiyonu
veriliyor. f(1) = 1 ve her n için f(1) + f(2) + ··· + f(n) toplamı, n’den
büyük olmayan bir do˘ gal sayının küpü oldu˘ guna göre, f(5)’in 7 ile bölümün
den kalan nedir?
Çözüm :
(1) (1)+ (2) (1)+ (2)+ (3) ·· · (1)+ (2)+ (3)+·· ·+ ()
e¸sitsizlikler zincirinde tam tane farklı do˘ gal sayı vardır ve herbiri ’yi a¸smayan bir
do˘ gal sayının küpü oldu˘ gundan,
3
3
(1) = 1 (1) + (2) = 2 (1) + (2) + (3) + + ()= 3
olmak zorundadır. O halde,
() = ( (1) + (2) + (3) + ·· · + ()) − ( (1) + (2) + (3) + ··· + ( − 1))
3
= − ( − 1) 3
2
=3 − 3 +1
bulunur. Böylece,
(5) = 75 − 15 + 1 = 61 ≡ 5(mod 7)
olur.
13. 8 × 8 karelik bir satranç tahtasında, bu karelerle olu¸sturulan ve alanı çift
sayı olan dikdörtgenlerin sayısı kaç tanedir? (Bir karenin alanı 1 br ’dir).
2
Çözüm : Alanı çift olan dikdörtgenlerin sayısını, tüm dikdörtgenlerin sayısından tek
alana sahip dikdörtgenlerin sayısını çıkararak elde edebiliriz.
