Page 224 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2004 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 223

Tüm dikdörtgenlerin sayısı
µ ¶µ ¶
9 9
=36 · 36 = 1296
2 2
dır. Alanın tek sayı olabilmesi için, kenar uzunluklarının tek sayı olması gerekti˘ gin­
den, tüm tek sayı alanlı dikdörtgenler sayısını bulabilmek için, tüm tek sayı uzunlu˘ ga
sahip yatay ve dikey parçaların sayısını belirlememiz gerekir. Çözümün bundan son­
raki kısmını ifade edebilmek için o kadar da matematiksel olmayan "yatay uzunluk"
ve "dikey uzunluk" kavramlarını kullanaca˘ gız. Tüm tek alanlı dikdörgenlerin sayısı,
tüm tek "dikey" ve tüm tek "yatay uzunlukların" sayısının çarpımına e¸sittir.
Tek sayı olan tüm "yatay uzunluklar"; 1 3 5 ve 7 br. olan satranç tahtası üzerinde,
uzunlu˘ gu1brolan8, uzunlu˘ gu 3 br olan 6, uzunlu˘ gu5brolan4veuzunlu˘ gu 7 br
olan 2 tane "yatay uzunluk" oldu˘ gundan dolayı, tek yatay uzunlukların sayısı 8+6 +
4+2 = 20’dir. Tek "dikey uzunlukların" sayısı, tek "yatay uzunlukların" sayısınae¸sit
oldu˘ gundan dolayı, tek alanlı dikdörtgenlerin sayısı 20 · 20 = 400’dür.
O halde, alanı çift sayı olan dikdörtgenlerin sayısı, 1296 − 400 = 896 olarak bulunur.

14. ¸Sekilde; ABCD kiri¸sler dörtgeni,
m(ECF) =90  m(AEB) = m (AEF) ve m(AFE) = m (AFD)
◦
b
b
b
b
b
’dir. Bu dörtgende |BC| = |CD|, |BE| =2 br ve |CF| =2, 5 br oldu˘ guna
göre, |BC| kaç br’dir?
A
Çözüm : B’nin |AE|’ye göre simetri˘ gi B ,ve D’nin
0
|AF|’ye göre simetri˘ gi D olsun. ABCD kiri¸sler dörtgeni
0
oldu˘ gundan
D
(ABC)+ (ADC) = 180 ◦ B
b
b
dir. Bundan dolayı, B ve D çakı¸sır. Dolayısıyla, E F
0
0
|EF| = |BE| + |DF| olur. Öte yandan, |BC| = |CD| = 
denilirse, |DF| =  − 2 5 ve |EC| =  − 2 olur. C
|EF| = |BE| + |DF| e¸sitli˘ ginden,
|EF| =  − 2 5+2 =  − 0 5
4
olur. ECF üçgeni için Pisagor teoremi uygulanırsa
2 2 2
|EF| = |EC| + |CF|
e¸sitli˘ ginden
2 2 2
( − 0 5) =( − 2) +(2 5)
10
ve böylece,  = bulunur.
3