Page 225 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

224 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

15. 2004 basamaklı bir sayının herhangi kom¸su iki rakamının olu¸sturdu˘ gu
sayı, üç farklı asal sayının çarpımı ¸seklinde yazılabilmektedir. Bu sayının son
basama˘ gı nedir?
˙
Çözüm : Istenen sayının kom¸su iki rakamının olu¸sturdu˘ gu sayı, üç farklı asal sayının
çarpımı ¸seklinde yazılabildi˘ gine göre, kom¸su iki rakamın olu¸sturdu˘ gu sayı,
2 · 3 · 5 = 30; 2 · 3 · 7 = 42; 2 · 3 · 11 = 66; 2 · 5 · 7=70
sayılarından biri olabilir. Bu durum, herhangi kom¸su iki rakam için geçerli oldu˘ gun­
dan, bu ¸sartı sadece 66 sa˘ glar. Dolayısıyla 2004 basamaklı sayımızın tüm rakamları
6’dır.

16. n, pozitif bir tamsayı ve p, tamsayı olmayan bir rasyonel sayı oldu˘ guna göre,
(2n)!
2
p = e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç tane pozitif p sayısı vardır?
2000
(2)!
2
Çözüm :  = denklemini gözlemleyelim. Burada dikkat edilmesi gereken
4
2 · 5 3
nokta, ’nin tamsayı olmayan bir rasyonel sayı olmasıdır. Buna göre, (2)! sayısının
üç tane 5 çarpanı bulunması durumunda  sayısı tamsayı olur ve ko¸sul sa˘ glanmaz.
Ayrıca, sa˘ g tarafın bir rasyonel sayının karesi olabilmesi için, sadece bir tane 5’in
sadele¸smesi gerekir. Yani paydada, 5 olmalıdır. Dolayısıyla, 5  2 9 olmalıdır.
2
Böylece, 3 ≤  ≤ 4 olur.  =4 için 8! içindeki 7 çarpanı "kareli˘ gi" bozaca˘ gından,
geriye  =3 olması durumu kalır. Böylece,  =3 yazılırsa,  =35 bulunur. O
halde, e¸sitli˘ gi sa˘ glayan sadece bir tane pozitif  sayısı vardır.
17. a 1 ,a , ..., a 100 tamsayıları için a 1 +a 2 + ··· + a 100 = 1001 1001 e¸sitli˘ gi
2
3
3
sa˘ glandı˘ gına göre, a +a + ··· + a 3 100 sayısının 6 ile bölümünden kalan nedir?
1
2
Çözüm : Her  tamsayısı için
3
 −  =  ( − 1) ( +1)
(üç ardı¸sık tamsayının çarpımı ) e¸sitli˘ ginden  ≡  (mod 6) olur. Buna göre,
3
3
3
 +  + ·· · +  3 ≡  1 +  2 + ·· · +  100 ≡ (−1) 1001 ≡−1 ≡ 5(mod 6) 
1 2 100
˙
18. Iki kenarortayından birinin uzunlu˘ gu 6 br, di˘ gerinin uzunlu˘ gu 9 br olan bir
üçgenin alanı en fazla kaç br olabilir?
2
Çözüm : G, üçgenin kenarortaylarının kesi¸sim noktası ol­ B
sun. Buna göre,
2 2
|BG| = · 6=4 ve |CG| = · 9=6
3 3 G
olur. O halde,
1 A C
(ABC)=3(GBC) ≤ 3 · ·|BG||CG| =36
2
elde edilir. E¸sitlik durumu BG ⊥ CG halinde mümkündür.