Page 247 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

246 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

9. Bir sayı kümesinin elemanlarının toplamına bu kümenin "a˘ gırlı˘ gı" diyelim.
Örne˘ gin, {3, 5, 7} kümesinin "a˘ gırlı˘ gı" 3+5+7 = 15’tir. {1, 3, 5, ..., 17, 19}
kümesinin tüm altkümelerinin "a˘ gırlıkları" toplamı kaçtır?
Çözüm : Tüm alt kümelerin a˘ gırlıkları toplamını dü¸sünürsek, bu toplamda kümenin
tüm elemanları e¸sit sayıda bulunacak. Verilen kümenin eleman sayısı 10 oldu˘ gundan,
9
her elemanın bulundu˘ gu alt küme sayısı 2 olacaktır. Örne˘ gin, 1’in bulundu˘ gu tüm al­
tkümeleri bulmak için, {3 5  19} kümesinin tüm altkümelerine (ki bunların sayısı
9
2 dur) 1 sayısını ekleriz. Böylece, tüm a˘ gırlıklar toplamı,
9
9
9
1 · 2 +3 · 2 +5 · 2 + ··· +19 · 2 9 = (1+3+ ·· · +19) 2 9
= 100 · 512 = 51200
elde edilir.
¡√ √ ¢
10. x + y =2 x +3 + y +4 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan reel x ve y sayıları için,
√ √
x +3 + y +4 toplamının alabilece˘ gi en büyük de˘ ger nedir?
2
Çözüm :  =  − 3 =  − 4 denilirse, verilen denklem,
2
2
2
2
2
 +  − 7=2 ( + ) ⇒  − 2 +  − 2 =7
2 2
⇒ ( − 1) +( − 1) =9
elde edilir.
Çözüm : Yani, ( ) noktaları,  ≥ 0 ≥ 0 ol­
mak üzere, merkezi (1 1) ve yarıçapı 3 olan çem­
ber üzerindedir. A
2
2
 +  =  +  − 7
3
oldu˘ gundan, ( + )’nin en büyük de˘ gerini bul­ 1 2
mak için,  +  ’nin en büyük de˘ gerini bul­
2
2
√ √ 0
2
2
malıyız. ¸Sekilde izlenirse, max  +  = 2+ 1
3 oldu˘ gundan,
¡ ¢ ¡√ ¢ 2 √
2
max  +  2 = 2+3 =11 + 6 2
olur. Buradan da,
√ √
max ( + )= 11 + 6 2 − 7=4 + 6 2
¡√ √ ¢ ¡√ √ ¢
elde edilir. Buna göre,  +  =2  +3+  +4 e¸sitli˘ ginden,  +3+  +4
ifadesinin en büyük de˘ geri,
√
 +  4+6 2 √
= =2 + 3 2
2 2
olarak bulunur.