Page 248 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2007 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 247

11. Bir düzlem üzerindeki 20 do˘ gru ve 1 çember bu düzlemi en fazla kaç parçaya
bölebilir?
Çözüm : Önce 20 do˘ grunun düzlemi en fazla kaç parçaya bölebilece˘ gini bulalım.
Parça sayısının maksimum olması için, birbirine paralel iki do˘ gru ve aynı noktadan
geçen üç do˘ gru bulunmamalıdır. ¸Simdi, bu kurala uyarak,  tane do˘ grunun çizildi˘ gini
varsayalım ve (+1)’inci do˘ gruyu çizelim,. Bu (+1)’inci do˘ gru, daha önce çizilmi¸s
 tane do˘ grunun her biri ile bir noktada kesi¸serek, ( +1) tane do˘ gru parçasına ayıra­
caktır. O halde, ( +1)’inci do˘ gru daha önceden mevcut olan düzlem parçalarından
( +1) tanesinin her birini iki parçaya ayırarak, ( +1) tane yeni parçanın ortaya
çıkmasına neden olacaktır. Demek ki,  2 için,  do˘ grunun ortaya çıkaraca˘ gı
maksimal parça sayısı
 ( +1)
2+2+3+ ··· +  =1 +
2
olacaktır. ¸Simdi çemberi, tüm kesi¸sim noktalarını içine alacak ¸sekilde büyük çize­
lim. Çember do˘ gru ile iki noktada kesi¸secek ve mevcut düzlem parçalarına 2 tane
eklenecektir. Böylece,  =20 için, tüm parçalar sayısı,
20 · 21
1+ +2 · 20 = 211 + 40 = 251
2
olacaktır.

12. 11 × 13 dikdörtgeni içine, altı tane e¸skare ¸sekildeki
gibi yerle¸stirilmi¸stir. Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç
13 br birim karedir?

11 br
Çözüm : Bir karenin kenarlarının dikdörtgenin ke­ A 11 br D
narlarına izdü¸sümlerinin uzunlu˘ gu  ve  () ol­ x
sun. Tüm kareler için, bu izdü¸sümler aynı olacak­
tır.¸Sekilde  kenarındaki izdü¸sümlerin      x
oldu˘ gu görülür. Buradan, 3 +2 =13 olur. Ben­ y 13 br
zer olarak,  kenarına izdü¸sümler     olup, x
3 +  =11 sa˘ glanmalıdır. ¸Simdi,
½ y
3 +2 =13 B x x x y C
3 +  =11
denklem sisteminden,  =2 ve  =3 bulunur ve karenin bir kenarının uzunlu˘ gu
p √ ¡√ √ ¢
2
2
 =  +  = 13 elde edilir. O halde taralı alan, 11 · 13 − 6 · 13 13 =65
olur.