Page 249 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

248 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

13. a, b, c, d pozitif tamsayılar ve c> 7,d > 7 olmak üzere, a − 25 = c · d ve
37a +76 = b · d e¸sitliklerini sa˘ glayan en küçük a sayısının 5 ile bölümünden
kalan kaçtır?
 =25 +  ifadesini ikinci denklemde yerine yazarsak,
37 (25 + )+ 76 = 6 ⇒ 1001 + 37 =6
olur. Buradan,  | 1001 = 7·11·13 olmalıdır.  7 ko¸sulu gere˘ gi,  ’nin alabilece˘ gi
en küçük de˘ ger 11’dir. Yine,  ≥ 8 ko¸sulu gere˘ gi,  =25 +  sayısının alabilece˘ gi
en küçük de˘ ger,
25 + 8 · 11 = 25 + 88 = 113
olaca˘ gından, yanıt 3 olur.

14. a 1 ,a , ..., a 50 farklı pozitif sayılar olsun. i 6= j olmak üzere, en az kaç tane
2
farklı a  +a  toplamı elde edilebilir?
Çözüm :  1  2  ···  49  50 oldu˘ gunu varsayalım. O halde,

 1 +  2  1 +  3  ···  1 +  50  2 +  50  ···   49 +  50
oldu˘ gundan,   +   ( 6= ) toplamları içinde en az, 49 + 48 = 97 tane farklı sayı
olacaktır.
Tam 97 tane farklı sayının ortaya çıkaca˘ gı duruma bir örnek verelim.
 1 =1 2 =2   50 =50
için,   +   ( 6= ) toplamlarına bakarsak, en küçük toplam, 1+2 = 3 ve en büyük
toplam ise, 49 + 50 = 99 olaca˘ gından farklı toplamlar sayısı 99 − 3+1 = 97 olur.

15. Bir ABC dik üçgeninde [AB] ve [BC] dik kenarları, |AB| > |BC| e¸sitsi­
zli˘ gini sa˘ glasın. B’den [AC] ye indirilen dikme, [AC]’yi H noktasında kessin.
[AB] , [BC] ve [BH] parçalarından bir diküçgen olu¸sturmak mümkünse, |AH|
|HC|
oranı kaçtır?

2 2 2 A
Çözüm : Verilen ko¸suldan, || + || = || dir.
Di˘ ger yandan,  dik üçgeninden
2 2 2
|| + || = ||
olur. Bu iki e¸sitlikten || = || bulunur. ¸Simdi,  ve H
 üçgenlerinin benzerli˘ ginden,
|| || B C
=
|| ||
e¸sitli˘ gi vardır.