Page 250 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2007 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 249

Burada, || = || + ||  || = || yazılırsa,

|| ||
=1 +
|| ||
olur. || =  denilirse,  =1 + 1 denkleminden,  −  − 1=0 ve buradan da,
2
|| 
√
1+ 5
 =
2
elde edilir.
¢
¡
¢
¡
¢
¡
2
2
2
16. A =1! 1 +3·1+1 +2! 2 +3·2+1 +··· +222! 222 +3·222+1 toplamının
2007’ye bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
Çözüm : Verilen toplamı, toplam sembolüyle sadele¸sebilecek formatta yazalım.
222 222
P ¡ 2 ¢ P
 = !  +3 +1 = (( +2)! − !)
=1 =1
=3! − 1! + 4! − 2! + 5! − 3! + ··· + 223! − 221! + 224! − 222!
= 223! − 1! + 224! − 2! = 225 · 223! − 3
elde edilir. 2007 = 9 · 223 oldu˘ gundan,
 ≡−3 ≡ 2004 (mod 2007)
elde edilir.



17. a, b, c, d, e ∈ {0, −1} olmak üzere, 2 ·3 ·5 ·7 ·11 ¸seklindeki tüm sayıla­


rın toplamı sadele¸smeyen kesir biçiminde yazıldı˘ gında, bu kesirin payı kaçtır?
˙
Çözüm : Istenen toplam,
µ ¶µ ¶µ ¶µ ¶µ ¶
1 1 1 1 1 3 4 6 8 12 1152
1+ 1+ 1+ 1+ 1+ = · · · · =
2 3 5 7 11 2 3 5 7 11 385
sayısıdır.
18. Bir x reel sayısı için, db|x|ce ile, x’ten büyük olmayan ve x’e en yakın tam­
sayıyı; db|x|ce ile de, x’ten küçük olmayan ve x’e en yakın tamsayıyı gösterelim.
∗
100 ³ §¥ ¯√ ¯ ¦¨ §¥ ¯√ ¯ ¦¨ ´
(Örne˘ gin, db|5, 3|ce =5 ve db|5, 3|ce = 6 ’dır.) Buna göre, P ¯ n + ¯ n ¯ ∗
∗
¯
=1
toplamının de˘ geri kaçtır?
√ √
∗
Çözüm : Bir  için,  =  ise, db| |ce = db| |ce =  olur.
2
√
√
2
2
E˘ ger,   ( +1) ise, db| |ce =  ve db| |ce =  +1 olur ve dolayısıyla,
∗
√
√
∗
d b| |c + d| |c =2 +1 olur.
e
e
b
√ √ ∗
2
2
2
Böylece,  =1  2   10 için, db| |ce + db| |ce toplamının de˘ geri sırasıyla, 2 4
6, 18 20 olur.