Page 251 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

250 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

2
Di˘ ger yandan,   ( +1) e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan ’lerin sayısı
2
2
( +1) −  − 1=2 oldu˘ gundan,
2
2
   ( +1) 2
√
√
olan  sayıları için, d| |c + d| |c ifadelerinin toplamı, 2 (2 +1) olur. Sonuç
∗
e
b
e
b
olarak,
100 ³ §¥ ¯√ ¯ ¦¨ ´
P §¥ ¯√ ¯ ¦¨
 = ¯  + ¯  ¯ ∗
¯
=1
9 P
= 2 (2 +1)+(2 +4+6+ ·· · + 18 + 20)
=1
9 P 2 9 P 2+20
=4  +2  + · 10
=1 =1 2
9 · 10 · 19 1+9
=4 · +2 · · 9 + 110 = 1340
6 2
bulunur.
19. 3, 5 ve 7 rakamları yardımıyla olu¸sturulan tüm 10 basamaklı sayıların kaç
tanesinde yanyana gelen üç rakamın toplamı 3’e bölünmez?
Çözüm :
3 ≡ 0(mod3)  7 ≡ 1(mod3) ve 5 ≡ 2(mod3)
oldu˘ gundan, 3 5 ve 7 sayılarından tam iki tanesi 3 ile bölünmez. O halde,
istenen özelli˘ ge sahip 10 basamaklı sayıları,  1  2  10 ¸seklinde dü¸sünürsek,  1 ve
 2 ’nin yerine 3,5 veya 7 gelebilir. Yani, 3 · 3=9 seçenek vardır. Bundan sonraki,
 3  4    10 rakamlarının yerine tam iki tane sayı yazılabilir. Böylece, istenen ¸sek­
ildeki 10 basamaklı sayıların sayısı :
8
9 · 2 = 2304
olur.

20. Bir ABC dik üçgeninde B kö¸sesinden A
[AC] hipotenüsüne indirilmi¸s [BD] yüksek­
li˘ gini çap kabul eden çember, [BA] kenarını F . D
F noktasında ve [BC] kenarını da E nok­
tasında kessin. [BD] ve [EF ]’nin kesi¸sim G
noktası G olsun.
2
|BG| = |BE|·|BF | e¸sitli˘ gi sa˘ glanıyorsa, . C
ABC üçgeninin dar açılarının büyü˘ gü kaç B E
derecedir?