Page 282 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2011 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 281

2
5. 100’den küçük kaç tane n pozitif tamsayısı için, n +11 ve n +12n − 6
ifadelerinin 1’den büyük ortak böleni vardır?
2
Çözüm :  1 sayısı  +11 ve  +12 − 6 sayılarının bir böleni ise,
¡ 2 ¢
 +12 − 6 −  ( + 11) =  − 6
sayısının da bir bölenidir. Dolayısıyla, bu  sayısı
( + 11) − ( − 6) = 17
sayısını da böler. O halde,  =17 olmalıdır.  +11 = 17 formundaki 100’den
küçük  pozitif tamsayılarını bulmalıyız.
 =1 2 3 4 5 6
için  sayısı sırasıyla,

6 23 40 57 74 91
˙
olacaktır. Istenen ¸sekilde sadece 6 sayı vardır.

6. Pozitif tamsayılar 1’den ba¸slayarak artan sırada yazılıyor. 1’i kutu içerisine
2
alıyoruz. Daha sonra, 1 =1 tane sayıyı atlayarak 3’ü kutu içine alıyoruz. Bir
sonraki kutu içine alınacak sayıyı da, 2 2 =4 tane sayı atlayarak buluyoruz.
2
2
Bu ¸sekilde, sırasıyla 3 , 4 , ... tane sayı atlanarak, sayıları kutu içine alıyoruz.
A¸sa˘ gıda örnek verilmi¸stir.
1 , 2, 3 , 4, 5, 6, 7 , 8 ,9, 10, ...16, 17, 18 ,19, ..., 34, 35 , 36, ...
| {z } | {z } | {z }
2 2 terim atlandı 3 2 terim atlandı 4 2 terim atlandı
Buna göre, 21’inci kutunun içindeki sayı kaçtır?
Çözüm : ’inci kutudaki sayıya   dersek, (  ) dizisinin genel teriminin
2
 +1 =   +  +1
kuralını sa˘ gladı˘ gı görülür. Buna göre,  yerine, 1’den 20’ye kadar de˘ gerler verilirse,
2
 2 =  1 +1 +1
2
 3 =  2 +2 +1
···
2
 21 =  20 +20 +1
olur ki, bunların taraf tarafa toplanmasıyla,
¡ 2 2 2 ¢
 21 =  1 + 1 +2 + ·· · +20 +20
20 P 2
=21 + 
=1
= 2891
elde edilir.