Page 283 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 283
282 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
5
7. a · b · c · d =10 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan a, b, c, d do˘ gal sayı dörtlülerinden kaç
tanesi için, a · b · c çarpımı 100’e bölünmez?
Çözüm : =2 5 =2 5 =2 5 ve =2 5 biçimindedir.
4 4
2 2
3 3
1 1
Burada, negatif olmayan tamsayılar olup
1 + 2 + 3 + 4 =5 ve 1 + 2 + 3 + 4 =5
e¸sitlikleri sa˘ glanmalıdır. çarpımı 100’e bölünecek biçimde olan ( ) dörtlü
lerini hesaplayalım. çarpımı 100’e bölünüyorsa, hem 2’nin kuvveti hem de 5’in
kuvveti 2’den küçük olmamalıdır. Buna göre, 1 + 2 + 3 ≥ 2 için,
i) 1 + 2 + 3 =2 ise, 4 =3 olur ve buradan, ¡ ¢ =6 tane ( 1 2 3 4 ) do˘ gal
4
2
sayı dörtlüsü elde edilir.
¡ ¢
5
ii) 1 + 2 + 3 =3 ise, 4 =2 ⇒ 2 =10 tane ( 1 2 3 4 ) do˘ gal sayı dörtlüsü
elde edilir.
¡ ¢
6 =15 tane ( 1 2 3 4 ) do˘ gal sayı
iii) 1 + 2 + 3 =4 ise, 4 =1 ⇒ 2
dörtlüsü elde edilir.
¡ ¢
7
iv) 1 + 2 + 3 =5 ise, 4 =0 ⇒ 2 =21 tane ( 1 2 3 4 ) do˘ gal sayı
dörtlüsü elde edilir.
O halde, toplam 6+10+15+21=52 dörtlü elde edilir. Benzer ¸sekilde, 1 + 2 + 3 ≥
2 için de, 52 dörtlü bulunacaktır. Böylece çarpımı 100’e bölünecek biçimde olan
2
( ) dörtlülerinin sayısı 52 ’dir. Di˘ ger yandan, =10 olacak ¸sekildeki,
5
¡ ¢ 2
( ) dörtlülerinin sayısı 8 3 =56 oldu˘ gundan, istenen ¸sekilde 56 − 52 =
2
2
2
432 dörtlü oldu˘ gu görülür.
¡ 2 ¢ 2
8. x x − y = y −76 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan negatif olmayan x, y tamsayıları
için 2x − y’nin en küçük de˘ geri nedir?
Çözüm : Denklem düzenlenirse ( − +1)( +1) = 77 = 7 · 11 bulunur. Buradan
2
+1 ∈ {1 7 11 77} olabilir.
2
+1 = 1 ve − +1 = 77 ise, ∈ Z;
+1 = 7 ve − +1 = 11 ise, =6 ve =4’tür;
2
+1 = 11 ve − +1 = 7 ise, =10 ve =4’tür;
2
2
+1 = 77 ve − +1 = 1 ise, ∈ Z
Buna göre, 2 − ’nin en küçük de˘ geri, 2 · 6 − 4=8 olur.
p √
6
9. A = 208 − 120 3 sayısının ondalık gösteriminde virgülden sonraki ilk
rakam kaçtır?
q
p √
3
Çözüm : sayısını = 208 − 2 10800 biçiminde yazalım.
p √ √ √ √
2
208 − 2 10800 = 108 − 100 = 6 3 − 10
elde edilir.
